01背包问题
来源:互联网 发布:曼哈顿软件 编辑:程序博客网 时间:2024/06/05 10:19
问题描述:
给定n种物品和一背包的容量m,物品i的重量是c[i],其价值是w[i],问如何选择装入背包中的物品总价值最大?每种物品一
件,可以选择放或不放。
分析:dp[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是:
这个方程非常重要,基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。
恰好装满背包与不要求恰好装满背包的区别。这两种区别就是初始化的时候有所不同。
如果是第一种问法,要求恰好装满背包,那么在初始化时除了dp[1]为0外其它dp[2..V]均设为-INF,这样就可以保证最终得
到的dp[V]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满,而是只希望价格尽量大,初始化时应该将dp[1..V]全部设为0。
可以这样理解:初始化的dp数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满,那么此时只
有容量为0的背包可能被重量为0的nothing恰好装满,其它容量的背包均没有合法的解,属于未定义的状态,它们的值就都应
该是-INF了。如果背包并非必须被装满,那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”,这个值为0,所以初始时状态的
值也就全部为0了。
int Work(int c[],int w[],int n,int m){ memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1;i<=n;i++) { for(int v=1;v<=m;v++) { if(v >= c[i]) dp[i][v] = max(dp[i-1][v],dp[i-1][v-c[i]] + w[i]); else dp[i][v] = dp[i-1][v]; } } return dp[n][m];}
空间的优化,要对V逆着推,这样才能保证推dp[v]时dp[v-c[i]]保存的是状态dp[i-1][v-c[i]]的值。
int Work(int c[],int w[],int n,int m){ memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=1; i<=n; i++) for(int v=m; v >= c[i]; v--) dp[v] = max(dp[v],dp[v-c[i]] + w[i]); return dp[m];}
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