最大公约数问题

解法一

思想：辗转相除法，假设f(x,y)表示x,y的最大公约数，去k=x/y，b=x%y，则有x=ky+b，若一个数能够同时整除x和y，则，必能同时整除y和b；同时整除y和b的数，也能同时整除x和y，则x和y的公约数与y和b的公约数相同，其最大公约数也相同，则，f(x,y)=f(y,x%y)(x>=y>0),知道其中一个为数0，剩下的另一个数就是两者最大的公约数，如f(42,30)=f(30,12)=f(12,6)=f(6,0)

解法二

因取模运算用到除法，所以，开销大，使用f(x,y)=f(x-y,y)(x>=y>0)，递归调用，保正左边的值>右边的值，直到递归结束。

解法三

y=k*y1,x=k*x1，则有f(y,x)=k*f(y1,x1)，如果x=p*x1,假设p是素数，且y%p!=0，则，f(x,y)=f(p*x1,y),2是素数，将乘以2和除以2转换为移位运算，避免整数除法。

取p=2

若x,y均为偶数，则f(x,y)=2*f(x/2,y/2)=2*f(x>>1,y>>1)

若x为偶数，y为奇数，则f(x,y)=f(x/2,y)=f(x>>1,y)

若x为奇数，y为偶数，则f(x,y)=f(x,y/2)=f(x,y>>1)

若x,y均为奇数，则f(x,y)=f(y,x-y),则在f(x,y)=f(y,x-y)之后，(x-y)是一个偶数，下一步可以进行除以2操作。

因此，最坏的时间复杂度是O(log2(max(x,y)))。

来自：编程之美