最大公约数问题

问题：最大公约数问题 
写一个程序，求两个正整数的最大公约数。如果两个正整数都很大，有什么简单的算法吗？ 
例如，给定两个数1 100 100 210 001，, 120 200 021，求出其最大公约数。 求最大公约数是一个很基本的问题。早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法———辗转相除法。辗转相除法的原理很聪明也很简单，假设用f(x,y)表示x与y的最大公约数，取k=x/y，b=x%y，则x=k*y+b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f(x,y)= f(y, x%y) (x>=y>0)，如此便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另一个数就是两者最大的公约数。辗转相除法更详细的证明可以在很多的初等数论相关书籍中找到，或者读者也可以试着证明一下： 
示例如下： 
f(42,30) = f(30,12) = f(12,6) = f(6,0) = 6 
解法一 
最简单的方法，就是直接用代码来实现辗转相除法。从上面的描述中，我们直到，利用递归就能够很轻松地把这个问题完成。 
具体代码如下： 
int gcd(int x, int y) { 
return (!y) ? x : gcd(y, x%y); } 
 
解法二 
在解法一中，我们用到了取模运算。但对于大整数而言，取模运算（其中用到除法）是非常昂贵的开销，将成为整个算法的瓶颈。有没有办法能够不用取模运算呢？ 
采用类似前面辗转相除法的分析，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时整除x-y和y；而能够同时整除x-y和y的数也比能同时整除x和y，即x和y的公约数与x-y和y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，即f(x,y)= f(x-y,y)，那么就可以不再需要进行大整数的取模运算，而转换成简单得多的大整数的减法。 
在实际操作中，如果x<y，可以先交换（x，y）因为（x，y）=（y，x），从而避免求一个正数和一个负数的最大公约数情况的出现。一直迭代下去，直到其中一个数为0。 
示例如下： 
f(42,30) = f(30,12) = f(12,18) = f(18,12) = f(12,6) = f(6,6) = f(6,0) = 6 解法二的具体代码如下所示： 
BigInt gcd(BigInt x, BigInt y) { 
if(x < y) 
return gcd(y, x); if(y == 0) 
return x; 
else 
return gcd(x-y, y); 
} 
  
代码中的BigInt是读者自己实现的一个大整数类（所谓大整数当然可以是成百上千位），那么就要求读者重载该大整数类中的减法运算符“—”，关于大整数的具体实现这里不再赘述，若读者只是想验证该算法的正确性，完全可使用系统内建int类型来测试。 
这个算法，免去了大整数除法的繁琐，但是同样也有不足之处，最大的瓶颈就是迭代的次数比之前的算法多了不少，如果遇到（10 000 000 000 000 ， 1）这类情况，就会相当地令人郁闷了。 
 
解法三 
解法一的问题在于计算复杂的大整数除法运算，而解法二虽然将大整数的除法运算转换成了减法运算，降低了计算的复杂度，但它的问题在于减法的迭代的次数太多，那么能否结合解法一和解法二从而使其成为一个最佳的算法呢？答案是肯定的。 
从分析公约数的特点入手。 
对于y和x来说，如果y=k*y1，x=k*x1。那么有f(y , x) = k*f(y1 , x1)。 另外，如果x = p*x1，假设p是素数，并且y%p!=0（即y不能被p整除），那么f(x, y) = f(p*x1,y) = f(x1 , y)。 
注意到以上两点之后，我们就可以利用这两点对算法进行改进。最简单的方法是，我们直到，2是一个素数，同时对于二进制表示的大整数而言，可以很容易地将除以2和乘以2的运算转换成移位运算，从而避免大整数除法，由此就可以利用2这个数字来进行分析。 
取p = 2 
若x，y均为偶数，f(x , y) = 2*f(x/2 , y/2) = 2*f(x>>1 , y>>1) 若x为偶数，y为奇数，f(x , y) = f(x/2 , y) = f(x>>1 , y) 若x为奇数，y为偶数，f(x , y) = f(x , y/2) = f(x , y>>1) 
若x，y均为奇数，f(x , y) = f(y , x-y)，那么在f(x , y) = f(y , x-y)之后，（x-y）是一个偶数，下一步一定会有除以2的操作。 
因此，最坏情况下的时间复杂度是O（log2(max( x, y))）。 考虑如下的情况： 
f(42 , 30) = f(101010 , 11110)  二进制表示         = 2*f(10101 , 1111)         = 2*f(1111 , 110)         = 2*f(1111 , 11)         = 2*f(1100 , 11)         = 2*f(11 , 11)         = 2*f(0 , 11) 
        = 2*11         二进制11就是3         = 6 
根据上面的规律，具体实现代码如下所示： 
bool IsEven(BigInt m) { 
if(m % 2 == 0) 
return true; else 
return false; 
}  
BigInt gcd(BigInt x, BigInt y) { 
if(x < y) 
return gcd(y, x); if(y == 0) 
return x; else { 
if(IsEven( x )) { 
if(IsEven( y )) 
return (gcd(x >> 1, y >> 1) << 1);     // 2*gcd(x>>1, 
y>>1) 
else 
return gcd(x >> 1, y); 
} Else { 
if(IsEven( y )) 
return gcd(x, y >> 1); else 
return gcd(y, x - y); 
} } } 
BigInt见解法二中的解释，IsEven(BigInt x) 函数检查x是否为偶数，如果x为偶数，则返回true，否则返回false。 

解法三很巧妙地利用移位运算和减法运算，避开了大整数除法，提高了算法的效率。程序员常常将移位运算作为一种技巧来使用，最常见的就是通过左移或右移来实现乘以2或除以2的操作。其实移位的用处远不止于此，比如求一个整数的二进制表示中1的个数问题和逆转一个整数的二进制表示问题等，往往让人拍案叫绝。

其实这三种方法的思想是相同的，将问题缩小化，逐渐把数据缩小使问题越来越简单以求得最终结果，解法一是用取余，解法二是做差，解法三是移位，其本质思想其实是一样的