01背包问题

有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的费用(体积)是C[i]，价值是W[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

显然这个问题的特点是：每种物品只有一件，可以选择放或者不放。

我主要针对动态规划方法，关于这个问题的文章网上已经相当的多，不过我想把自己的思路和一点想法写下来，也算对这个问题的一点体会吧。

依次考虑N件物品，对于容量为v的背包在处理第i件物品时获得的最大价值F，显然有如下递推式：

IF     第i件物品的费用(体积)C[i]>v  

        THEN 第i件物品必然无法加入背包，F[i][v]=F[i-1][v]

ELSE是否加入第i件物品需考虑加入背包后是否划算，在这里可以认为这个第i件物品优先加入背包，

        那么有  F[i][v]=max{F[i-1][v],F[i-1][v-C[i]]+W[i]}

现在来解释一下上面这个最关键的状态转移方程！

当前背包容量为v，即将处理第i件物品。显然有如下两种方案，出现了最优子结构性质：

a.若第i件物品加入背包，装入这前i件物品获得的最大价值F[i][v]，必然等于第i件物品的价值W[i]再加上向容量为v-C[i]的背包装入前i-1件物品这个子问题的最大价值F[i-1][v-C[i]] (先把第i件物品加入背包，然后考虑安排剩余的空间容量)

b.若不加入第i件物品，装入这前i件物品的获得的最大价值F[i][v]，必然等于向容量为v的背包装入前i-1件物品这个子问题获得的最大价值F[i-1][v]

显然，当前问题的最大价值F[i][v]取上面两种方案的较大值！

代码如下：

import java.util.Scanner;/** * 01背包问题 * @author honest * */public class ZeroOnePack {public static void main(String[] args) {int N;  //背包数目int[] weight; //单个物品重量int[] value; //单个物品价值int[][] values ; //存放价值int maxValue;  //最大价值Scanner in=new Scanner(System.in);maxValue=in.nextInt();N=in.nextInt();weight=new int[N+1];value=new int[N+1];values=new int[N+1][maxValue+1];for(int i=1;i<=N;i++){weight[i]=in.nextInt();value[i]=in.nextInt();}for(int i=0;i<=N;i++)values[i][0]=0;for(int i=0;i<=maxValue;i++)values[0][i]=0;for ( int i = 1; i <= N; i++){for ( int j = 1; j<=maxValue; j++){if(weight[i]>j){values[i][j]=values[i-1][j];}else {values[i][j]=Math.max(values[i-1][j-weight[i]]+value[i], values[i-1][j]);}}}//反向找出选出的背包int j=maxValue;for(int i=N;i>0;i--){if(values[i][j]>values[i-1][j]){System.out.print(i+"  ");j=j-value[i];if(j<0) break;}}in.close();}}

测试数据：

 Sample Input   
10 3  
3 3   
7 7   
9 9   
Sample Output  
10  

Sample Input  
6 5  
1 1  
3 5  
3 10  
8 6  
5 7  
Sample Output  
15 

01背包问题空间的改进

核心思想：
for i:=1 to N do
for j=V downto c[i] do
if f[j-c[i]]+w[i]>f[j] then
f[j]=f[j-c[i]]+w[i];

思路与上面的相同，但是减少了空间的使用，有些acm题就是限制空间大小，比如Timus1005，只不过此种方法没有记忆相应的信息，所以在最后如果需要知道是取出了哪几个包的话，是不行不通的，具体看以参看这篇文章：

http://blog.csdn.net/tr990511/article/details/7595854

import java.util.Scanner;/** * 01背包问题2 * @author honest */public class ZeroOnePack {public static void main(String[] args) {int N;  //背包数目int[] weight; //单个物品重量int[] value; //单个物品价值int[] values ; //存放价值int maxValue;  //最大价值Scanner in=new Scanner(System.in);maxValue=in.nextInt();N=in.nextInt();weight=new int[N+1];value=new int[N+1];values=new int[maxValue+1];for(int i=1;i<=N;i++){weight[i]=in.nextInt();value[i]=in.nextInt();}for(int i=0;i<=maxValue;i++)values[i]=0;for ( int i = 1; i <= N; i++){for ( int j = maxValue; j>=weight[i]; j--){values[j]=Math.max(values[j-weight[i]]+value[i], values[j]);}}System.out.println(values[maxValue]);in.close();           }}

介绍摘自http://my.oschina.net/llmm/blog/117421