动态规划 --- hdu 1176 **

免费馅饼

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 21111    Accepted Submission(s): 7112

Problem Description

都说天上不会掉馅饼，但有一天gameboy正走在回家的小径上，忽然天上掉下大把大把的馅饼。说来gameboy的人品实在是太好了，这馅饼别处都不掉，就掉落在他身旁的10米范围内。馅饼如果掉在了地上当然就不能吃了，所以gameboy马上卸下身上的背包去接。但由于小径两侧都不能站人，所以他只能在小径上接。由于gameboy平时老呆在房间里玩游戏，虽然在游戏中是个身手敏捷的高手，但在现实中运动神经特别迟钝，每秒种只有在移动不超过一米的范围内接住坠落的馅饼。现在给这条小径如图标上坐标：

为了使问题简化，假设在接下来的一段时间里，馅饼都掉落在0-10这11个位置。开始时gameboy站在5这个位置，因此在第一秒，他只能接到4,5,6这三个位置中其中一个位置上的馅饼。问gameboy最多可能接到多少个馅饼？（假设他的背包可以容纳无穷多个馅饼）

 

Input

输入数据有多组。每组数据的第一行为以正整数n(0<n<100000)，表示有n个馅饼掉在这条小径上。在结下来的n行中，每行有两个整数x,T(0<T<100000),表示在第T秒有一个馅饼掉在x点上。同一秒钟在同一点上可能掉下多个馅饼。n=0时输入结束。

 

Output

每一组输入数据对应一行输出。输出一个整数m，表示gameboy最多可能接到m个馅饼。
提示：本题的输入数据量比较大，建议用scanf读入，用cin可能会超时。

 

Sample Input

65 14 16 17 27 28 30

1. 分析

        首先，用数学的方式来描述问题。若以时间作为纵轴，以空间作为横轴，则可以用a[t][x]表示t时间点，在x位置有多少个馅饼。则原问题可转化为二维数组中，找出一条从a[0][5]（从0开始5位置）开始的一条路径，并使路径上各个数字之和最大，其转移规则则是：可以从a[i][j]跳转到a[i+1][j]，a[i+1][j-1]，a[i+1][j=1]三个位置（若这三个位置存在的话）。至此，其状态转移已经很清楚了。

        用dp[i][j]表示i时刻跳至j位置所可以获得的最大值，则有如下转移方程：

                 dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j], dp[i-1][j+1]) + a[i][j]

2. AC代码

#include <stdio.h>#include <string.h>#define max(a, b) ((a)>(b)?(a):(b))int a[100001][11];int dp[100001][11];int main() {    int n, x, t, max_time;    while (scanf("%d", &n) && n) {        memset(dp, 0, sizeof(dp));  /////////////        memset(a, 0, sizeof(a));    /////////////        if (n == 0)            break;        max_time = -1;        while(n--) {            scanf("%d %d", &x, &t);            if (t > max_time)                max_time = t;            ++a[t][x];        }        for (int i=1; i<11; ++i)            dp[0][i] = -1;        dp[0][5] = 0;        for (int i=1; i<=max_time; ++i) {            for (int j=0; j<11; ++j) {                int tmp = dp[i-1][j];                if (j != 0)                    tmp = max(tmp, dp[i-1][j-1]);                if (j != 10)                    tmp = max(tmp, dp[i-1][j+1]);                if (tmp != -1)                    dp[i][j] = tmp + a[i][j];                else                    dp[i][j] = -1;            }        }        int res = -1;        for (int i=0; i<11; i++)            if (dp[max_time][i] > res)                res = dp[max_time][i];        printf ("%d\n", res);    }    return 0;}

3. 另一种实现方式

观察上述算法实现，可以发现，上述实现是从上到下求（时间维度），因而需要标明那些点不能由5坐标位置开始到达（比如，第一秒不能到达坐标1），上述实现用a[i][j]=-1来标明，但是另外一种实现方法是从下到上（时间维度），从而归约到0时刻5坐标。因为此时不需要标明哪些位置不能到达，因此可以直接在数组a上进行，从而节省空间。附带吗（转自：http://blog.sina.com.cn/s/blog_818d3d930100vcfh.html）：

#include<iostream>#include<cstring>using namespace std;int maxi(int a,int b,int c){    int max1;    max1=a>b?a:b;    max1=max1>c?max1:c;    return max1;}int c[100001][11];int main(){    int i,j;    int n,a,b;    while(cin>>n&&n)    {        int m=0;        memset(c,0,sizeof(c));        for(i=0;i<n;i++)        {             cin>>a>>b;             c[b][a]++;             if(m<b)             m=b;;        }        for(i=m-1;i>=0;i--)        {            for(j=1;j<=9;j++)                c[i][j]+=maxi(c[i+1][j-1],c[i+1][j],c[i+1][j+1]);            c[i][0]+=max(c[i+1][0],c[i+1][1]);            c[i][10]+=max(c[i+1][10],c[i+1][9]);        }        cout<<c[0][5]<<endl;           }return 0;}

3. 类似问题

hdu  4540    威威猫系列故事——打地鼠