为了避免遗忘，先将前几天AC的代码贴一下，顺便写下解题报告。

题目如下：

最大连续子序列

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 17500    Accepted Submission(s): 7723

Problem Description

给定K个整数的序列{ N1, N2, ..., NK }，其任意连续子序列可表示为{ Ni, Ni+1, ..., 
Nj }，其中 1 <= i <= j <= K。最大连续子序列是所有连续子序列中元素和最大的一个， 
例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 }，其最大连续子序列为{ 11, -4, 13 }，最大和 
为20。 
在今年的数据结构考卷中，要求编写程序得到最大和，现在增加一个要求，即还需要输出该 
子序列的第一个和最后一个元素。

 

Input

测试输入包含若干测试用例，每个测试用例占2行，第1行给出正整数K( < 10000 )，第2行给出K个整数，中间用空格分隔。当K为0时，输入结束，该用例不被处理。

 

Output

对每个测试用例，在1行里输出最大和、最大连续子序列的第一个和最后一个元 
素，中间用空格分隔。如果最大连续子序列不唯一，则输出序号i和j最小的那个（如输入样例的第2、3组）。若所有K个元素都是负数，则定义其最大和为0，输出整个序列的首尾元素。 

 

Sample Input

6-2 11 -4 13 -5 -210-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -2165 -8 3 2 5 01103-1 -5 -23-1 0 -20

 

Sample Output

20 11 1310 1 410 3 510 10 100 -1 -20 0 0
Hint
Hint
 Huge input, scanf is recommended.

 

下面以样例输入：-2 11 -4 13 -5 -2 来谈。

这题的第一思路是上三角矩阵，枚举任意一个子段的和。如下：

但是这样显然是不行的，首先是比较占内存，因此我做了下面改进，用一维数组来存结果。

代码如下：

#include <iostream>#define Max 10000using namespace std;int main(){    int item[Max];    int table[Max];    int k;    while(cin>>k && k)    {        int i, j;        int down = 1, up = k;        int sum = -1;        for(i = 1; i <= k ; i++)        {              int x;              cin>> x;              item[i] = x;              table[i] = x;              for( j = 1 ; j <= i ; j++)              {                  if( i != j )                  {                      item[j] = item[j]+item[i];                  }                  if( item[j] >= 0 && item[j] > sum )                  {                      sum = item[j];                      down = j;                      up = i;                  }              }                      }        if( sum < 0 ) cout<<"0"<<" "<<table[down]<<" "<<table[up]<<endl;        else cout<<sum<<" "<<table[down]<<" "<<table[up]<<endl;        }     }

算法每输入一个元素，都将该元素依次加到该元素之前的数值上，同时用三个变量记录最大值及始终点。

算法执行过程中，数组item的变化如下：

第一遍是：-2

第二遍是： 9， 11

第三遍是： 5， 7， -4

第四遍是：18， 20， 7， 13

……

形成的结果是上面的上三角矩阵的转置。

从这个角度上来说，这个算法并没有提高效率，只不过节省了空间。

TLE是很自然的。（算法的复杂度依然是O(n^2)）

后来参考别人的思路，发现算法可以在O(n)的时间复杂度内结束。

以下是源码：

#include <iostream>#define Max 10000using namespace std;int main(){    int item[Max];    int k;    while(cin>>k && k)    {        int i, j;            bool flag = false;        for(i = 1; i <= k ; i++)        {              int x;              cin>> x;              if( x>=0 ) flag = true; //记录是否全为负数              item[i] = x;                }        if(flag)        {            int max = item[1];            int sum = item[1];            int down = 1, up = 1;            int tmp;            for( j = 2 ; j <= k ; j++)            {              if( sum < 0 )              {                  sum = 0 ;                  tmp = j;              }                 sum += item[j];              if( sum > max )              {                  max = sum;                  up = j;                  down = tmp;              }            }             cout<<max<<" "<<item[down]<<" "<<item[up]<<endl;        }                 else cout<<"0"<<" "<<item[1]<<" "<<item[k]<<endl;                }      return 0;   }

先来看算法的执行流程，如果输出每次循环的sum值，可以发现算法的计算过程如下：

上图中被黑色矩形框选中的表示sum值的走向。

可以看出，该算法并没有计算所有的和，只计算了一行值就找到了最大子段和，效率是很高的。
用下面更明显的例子，可以看出：

算法之所以能从第一行跳到第二行，从第二行跳到第七行，

直接省略掉其他行及一行剩余的元素，归功于以下代码

              if( sum < 0 )              {                  sum = 0 ;                  tmp = j;              }  

首先可以看出，sum的起始点对应的元素一定是正数。

这很显然，因为假如 是负数，是正数，那么没有理由从开始的子段和大于从 开始的子段和。

其次，如果 ，那么一定有 ， 因为 是正数。

由此可以推知， 对于 ， 如果， 那么一定有 。

所以，从 到 这之间的所有子段和都不必计算了，直接从 从新开始计算即可，算法的效率由此得到极大的提高。