最大连续子序列和

最大连续子序列和问题是个很老的面试题了，最佳的解法是O(N)复杂度，当然其中的一些小的地方还是有些值得注意的地方的。这里还是总结三种常见的解法，重点关注最后一种O(N)的解法即可。需要注意的是有些题目中的最大连续子序列和如果为负，则返回0；而本题目中的最大连续子序列和并不返回0，如果是全为负数，则返回最大的负数即可。

问题描述

求取数组中最大连续子序列和，例如给定数组为A={1， 3， -2， 4， -5}， 则最大连续子序列和为6，即1+3+（-2）+ 4 = 6。

 

解法1—O(N^2)解法

因为最大连续子序列和只可能从数组0到n-1中某个位置开始，我们可以遍历0到n-1个位置，计算由这个位置开始的所有连续子序列和中的最大值。最终求出最大值即可。

更详细的讲，就是计算从位置0开始的最大连续子序列和，从位置1开始的最大连续子序列和。。。直到从位置n-1开始的最大连续子序列和，最后求出所有这些连续子序列和中的最大值就是答案。

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1. int maxsequence(int arr[], int len)  
2. {  
3.     int max = arr[0]; //初始化最大值为第一个元素  
4.     for (int i=0; i<len; i++) {  
5.         int sum = 0; //sum必须清零  
6.         for (int j=i; j<len; j++) { //从位置i开始计算从i开始的最大连续子序列和的大小，如果大于max，则更新max。  
7.             sum += arr[j];   
8.             if (sum > max)  
9.                 max = sum;  
10.         }  
11.     }  
12.     return max;  
13. }  

 解法2—O（NlgN）解法

该问题还可以通过分治法来求解，最大连续子序列和要么出现在数组左半部分，要么出现在数组右半部分，要么横跨左右两半部分。因此求出这三种情况下的最大值就可以得到最大连续子序列和。

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1. int maxsequence2(int a[], int l, int u)  
2. {  
3.     if (l > u) return 0;  
4.     if (l == u) return a[l];  
5.     int m = (l + u) / 2;  
6.   
7.     /*求横跨左右的最大连续子序列左半部分*/     
8.     int lmax=a[m], lsum=0;  
9.     for (int i=m; i>=l; i--) {  
10.         lsum += a[i];  
11.         if (lsum > lmax)  
12.             lmax = lsum;  
13.     }  
14.       
15.     /*求横跨左右的最大连续子序列右半部分*/     
16.     int rmax=a[m+1], rsum = 0;   
17.     for (int i=m+1; i<=u; i++) {   
18.         rsum += a[i];  
19.         if (rsum > rmax)   
20.             rmax = rsum;   
21.     }  
22.     return max3(lmax+rmax, maxsequence2(a, l, m), maxsequence2(a, m+1, u)); //返回三者最大值  
23. }  
24.   
25. /*求三个数最大值*/  
26. int max3(int i, int j, int k)  
27. {  
28.     if (i>=j && i>=k)  
29.         return i;  
30.     return max3(j, k, i);  
31. }   

解法3—O（N）解法

还有一种更好的解法，只需要O（N）的时间。因为最大 连续子序列和只可能是以位置0～n-1中某个位置结尾。当遍历到第i个元素时，判断在它前面的连续子序列和是否大于0，如果大于0，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i和前门的连续子序列和相加；否则，则以位置i结尾的最大连续子序列和为元素i。

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1. int maxsequence3(int a[], int len)  
2. {  
3.     int maxsum, maxhere;  
4.     maxsum = maxhere = a[0];   //初始化最大和为a【0】  
5.     for (int i=1; i<len; i++) {  
6.         if (maxhere <= 0)  
7.             maxhere = a[i];  //如果前面位置最大连续子序列和小于等于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为a[i]  
8.         else  
9.             maxhere += a[i]; //如果前面位置最大连续子序列和大于0，则以当前位置i结尾的最大连续子序列和为它们两者之和  
10.         if (maxhere > maxsum) {  
11.             maxsum = maxhere;  //更新最大连续子序列和  
12.         }  
13.     }  
14.     return maxsum;  
15. }