ACM练级日志：带权并查集与食物链

最近终于干掉了高中两年都没有搞定的题目：食物链，就是那个A吃B，B吃C，C吃A这道NOI的经典题。当年自己写了200多行，把自己都写碎了，也没弄出来，最近学习了带权并查集，终于搞定了这道题。

首先说说并查集为什么能带权值……  原先，最基本的并查集是维护等价关系了，如果A跟B处于同一集合，那说明A和B就是等价的。但是如果给并查集每个边覆上权值的话，那么并查集就不光能表示等价关系，而且只要是“有关系”，就能表示。

当时我见到了这么一道题：我有变量A到Z，每次我会告诉你两个变量的差（A-C=3 , R-S=2），然后途中我也会提问两个变量的差是多少，你要回答我“是多少”，或者“不确定”。这里我们就可以用带权并查集：如果两个变量之间已经“有关系”，那么就合并入一个集合，每个元素和它父亲的边权值就是这个差值。例如我们会有A->C =3， R->S=2，如果又有C->R=1，则沿着这条路走下去，就有了A->S=6。我们成功地维护了一个表示“有关系”的并查集，同时我们还用边的权值维护了这个关系是什么。

不妨再看看NOIP的关押罪犯，简化来讲，关键一步就是每次给你两个数A,B，告诉你A,B必须不能在一个监狱里，问你是否可行。那么，对于这样的关系，我们可以有A->B=1表示A和B不在一起，0表示在一起，然后边的权值都要模2.这样，如果A->B=1， B->C=1，则A->C=0，这个时候如果我告诉你A->C=1，就肯定没戏了。

食物链的解题报告有很多，我觉得最好的解法就是带权并查集，上面那个关押罪犯搞明白了，这种问题就都不是问题了。唯一值得注意的是，我在很多地方看到在维护权值的时候，作者用的都是找规律的办法，其实用向量的思想去想会非常简明而且绝不会出错。举个例子，最难的一步“合并”，假设我们合并x1, x2, x1的祖宗叫px1, x2的祖宗叫px2，我们在进行find（x1），find（x2）操作以后，就知道了x1->px1 = value[x1]，x2->px2 = value[x2], 同时我们想添加的关系就是x1->x2 = d，现在关键问题是我们要知道px1 -> px2应该是多少（假设把x1并到x2去），那么根据向量的思想，很容易我们就得出，px1 -> px2 = px1->x1 + x1->x2 + x2->px2 = -value[x1] + d + value[x2] ，需要的话再取模即可。

（注意！！ 在对m取模之前，一定要加上m，不然如果d=value[x2]=0，你就死定了，1小时人生换来的教训，食物链标程里面有，但是当时我没注意，付出代价了……  一定一定写成 （-value[x1] + d + value[x2] + m）%m 。 ）

同样的，find的时候，我们假设要find(x1)，x1当前的父亲是px1, 我们用一个p_old来代表px1，假设新的父亲是p_new，我们想知道x1->p_new是多少。已知的是x1->p_old, 而p_old->p_new 在递归的时候已经更新了，所以我们发现把这两个向量加起来就是x1->p_new，就可以很欢快地维护权值了。