ACdream 1154 Lowbit Sum （数位DP）

Lowbit Sum

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Problem Description

long long ans = 0;
for(int i = 1; i <= n; i ++)
    ans += lowbit(i)
lowbit(i)的意思是将i转化成二进制数之后，只保留最低位的1及其后面的0，截断前面的内容，然后再转成10进制数
比如lowbit(7),7的二进制位是111，lowbit(7) = 1
6 = 110(2),lowbit(6) = 2,同理lowbit(4) = 4,lowbit(12) = 4,lowbit(2) = 2,lowbit(8) = 8

每输入一个n，求ans

Input

多组数据，每组数据一个n(1 <= n <= 10^9)

Output

每组数据输出一行，对应的ans

Sample Input

123

Sample Output

134

大致题意：中文的，都能看懂吧。。。

解题思路：这里利用了数论的一些小技巧，关于lowbit的规律。我发现这类题数论题上来直接暴力严重超时的，一般来说都有规律！！！

开始做的时候直接暴力打表，结果打个表都跑了十几秒，还是算了。。。

然后就潜心于找规律了，先随便输出了从1开始的几个连续数的lowbit值，还没啥感觉，后来又多输出了几组，才渐渐发现了规律——奇数的lowbit都是1；偶数的lowbit是先增后减的而且还是对称的，并且从两边向中间看的话，都是公比为2的等比数列。这样就可以计算了。如果n为偶数，偶数的可以转化为2*dp[n/2]，然后再加上奇数的n/2个1，就可以了； n为奇数时，偶数的还是转化成2*dp[n/2]，但是奇数的现在不是n/2个了,而是n/2 + 1个了。要想方便的总结一下，就可以写成dp[n] = 2*dp[n/2] + n/2 + (n%2)；但是最近又发现了一种新的写法，那就是位运算的写法，位运算也可以实现乘除，而且比乘除运算要快，当然也能判别一个数的奇偶，可能是因为计算机本来就只能识别0和1的缘故吧，这些位运算就是直接对二进制数操作，所以更快。于是状态转移方程就可以写成dp[n] = 2*dp[n>>1] + (n>>1) + (n&1).

AC代码：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;long long dp(int x){if(x == 1)  return 1;return  2*dp(x>>1) + (x>>1) + (x&1);}int main(){#ifndef ONLINE_JUDGEfreopen("in.txt","r",stdin);#endifint n;while(~scanf("%d",&n)){printf("%lld\n", dp(n));}return 0;}