括号匹配dp的再思考

摘要：

本文简要回顾了动态规划的经典模型“括号匹配问题”，通过我初次解题时出现过的一个误区，对动态规划算法的设计思想做了深入阐释。

相信大家对括号匹配问题并不陌生，问题描述如下：

给定一个长度为n的括号序列（如“([)]”），求至少添加几个括号，可使该括号序列匹配？

这个问题的正解如下：

定义状态dp[i][j]，表示第i~j的子括号序列达到匹配需要添加的最小括号数，1<=i<=j<=n（假定括号序列从1开始编号）。状态转移为

（边界条件）若i == j，dp[i][j] = 1。否则

dp[i][j] = min{dp[i][k],dp[k+1][j]},i<=k<=j-1

最终答案是dp[1][n]

不过我第一次做这题时，却定义了这样一种状态转移方式：

令储存括号串的数组为s。

（边界条件）若i == j，dp[i][j] = 1

若s[i] == s[j]，dp[i][j] = dp[i+1][j-1]

若s[i] != s[j]，dp[i][j] = min{dp[i][j-1],dp[i+1][j-1]}+1

当时用这种方法在调试的时候确实通过了一些数据，但是它是错的。错哪儿了？

首先给出一组能卡掉这种方法的数据：())([]。答案应该是2，但是用错误方法得到的是4。

错误之处在于子问题划分的方式不合理，从“())([]”这组数据中就能发现，最左的()和最右的[]本来已经匹配上了，但是按照错误方法的状态转移，其中一对却被切开重新匹配，于是答案平白无故多出2。括号匹配应是“区间DP”模型，状态转移时是要枚举划分点的，第二种方法错就错在认为划分点就是最左和最右，结果把原来匹配的括号串又给拆了。