一笔画问题（nyoj42）（并查集+欧拉图）

一笔画问题

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难度：4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

24 31 21 31 44 51 22 31 31 43 4

样例输出

NoYes

来源

[张云聪]原创

上传者

张云聪

欧拉图的重要性质：

存在欧拉回路的图就是欧拉图，就是一个连通图里存在一个回路，
并且这个回路经过图中的每条边，且只经过一次。
有关欧拉图的性质：


（1）.无向连通图G是欧拉图，当且仅当G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数)；


（2）.无向连通图G含有欧拉通路，当且仅当G有零个或两个奇数度的结点；


（3）.有向连通图D是欧拉图，当且仅当该图为连通图且D中每个结点的入度=出度


（4）.有向连通图D含有欧拉通路，当且仅当该图为连通图且D中除两个结点外，其余每个结点的入度=出度，
且此两点满足deg－(u)－deg+(v)=±1。（起始点s的入度=出度-1，   结束点t的出度=入度-1 或两个点的入度=出度）
 
 
 
   这个题利用第二个性质可以解决。
   分两步：
  （1）判断连通（dfs或者并查集）；
  （2）统计奇点个数。

    此题用并查集比较好理解：

#include<stdio.h>#include<string.h>int pre[1002];int degree[1002];int find(int x){return pre[x]==x?x:find(pre[x]);}void join(int x,int y){x=find(x),y=find(y);if(x!=y){   if(x>=y)      pre[x]=y;   else      pre[y]=x;}return;}int main(){    int test,i,n,m,t,k;    scanf("%d",&test);    while(test--)    {    scanf("%d%d",&n,&m);    memset(degree,0,sizeof(degree));    for(i=1;i<=n;i++)        pre[i]=i;    for(i=1;i<=m;i++)    {    scanf("%d %d",&t,&k);    join(t,k);    degree[t]++;    degree[k]++;    }    int l=0,odd=0;    for(i=1;i<=n;i++)    {    if(find(i)!=1)    {    l=1;    break;    }    if(degree[i]&1)        odd++;    }    if(l)    printf("No\n");    else    {    if(odd==0||odd==2)        printf("Yes\n");        else            printf("No\n");    }    }    return 0;}