约瑟夫环

摘自百度百科 约瑟夫环 词条：http://baike.baidu.com/view/717633.htm

很久不用就会忘了数学求法干脆记在这。

无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm），当n，m非常大（例如上百万，上千万）的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。

为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：

问题描述：n个人（编号0~(n-1）），从0开始报数，报到m-1的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

我们知道第一个人（编号一定是（m-1）%n) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）：

k k+1 k+2 ... n-2,n-1,0,1,2,... k-2

并且从k开始报0。

我们把他们的编号做一下转换：

k --> 0

k+1 --> 1

k+2 --> 2

...

...

k-3 --> n-3

k-2 --> n-2

序列1：0,1,2,3 … n-2,n-1

序列2：0,1,2,3 … k-2,k，…，n-2,n-1

序列3：k,k+1,k+2,k+3，…，n-2,n-1,0，1,2,3，…，k-2,

序列4：0,1,2,3 …，5,6,7,8，…，n-3,n-2

变换后就完完全全成为了（n-1）个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：

∵ k=m%n;

∴ x' = x+k = x+ m%n ; 而 x+ m%n 可能大于n

∴x'= (x+ m%n)%n = (x+m)%n

得到 x‘=(x+m)%n

如何知道（n-1）个人报数的问题的解？对，只要知道（n-2）个人的解就行了。（n-2）个人的解呢？当然是先求（n-3）的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n].

递推公式：

f[1]=0;

f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1）

有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1。

我们输出f[n]由于是逐级递推，不需要保存每个，程序也是异常简单：（注意编号是0 -- n-1）

#include <stdio.h>

int main(void)

int n,m,i,s=0;

printf ("N M = ");

scanf("%d%d",&n,&m);

for (i=2; i<=n; i++)

s=(s+m)%i;

printf ("The winner is %d\n",s);

return 0 ;

时间复杂度为O(n），相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。

参照上面提供的思路，我认为可以类似的得到一个更易于明白的方法，设有（1,2,3，……，k-1，k，k+1，……，n）n个数，当k出列时，那么有

k+1 -->1

k+2 -->2

...

...

n -->n-k

1 -->n-k+1

...

...

k-1 -->n-1

由上面一组式子可以推出，若知道新产生的n-1个数中某个数x，那么很显然可以推出x在原数列里的位置，即x‘=（x+k）%n，由此，我们可以得到一个递推公式

f[1]=1

f[n]=(f[n-1]+k)%n （n>1）

如果你认为上式可以推出约瑟夫环问题的解，很不幸，你错了，上面的递推公式中，在某种情况下，f[n-1]+k会整除n，如n=2，k=3，这时我们需要对上式进行修正，

f[n]=(f[n-1]+k)%n;if(f[n]==0)f[n]=n;

问题得解。程序代码如下：

#include<stdio.h>

int main()

int n,k,s=1;

scanf("%d%d",&n,&k);

for(int i=2;i<=n;i+=1）

s=(s+k)%i;

if(s==0)s=i;

printf("ans=%d\n",s);

return 0;

当然，我们还可以用递归方法解决此问题：

#include<stdio.h>

int main

int jos(int n,int k);

int n,k,s;

scanf("%d%d",&n,&k);

s=jos(n,k);

printf("ans=%d\n",s);

return 0;

int jos(int n,int k)

int x;

if(n==1）x=1;

else {x=(jos(n-1,k)+k)%n;if(x==0)x=n;}

return x;