从1到n整数中1出现的次数

面试题32：从1到n整数中1出现的次数

题目：输入一个整数n,求1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。

分析：题目好绕口，其实就是求一个任意位数的整数中1出现的次数。这个题目好像在哪里见过。考虑到这个整数可能很大，采用计算的方法不合适或者说你直接能想到的办法就不要告诉面试官了，因为几乎不可能是对的。大神除外。

我的想法是用一个字符数组来存储这个整数然后递归遍历整个数组的每一个元素看是不是1，如果是1，count++；思路比较容易理解就是递归遍历数组中每一位。这是我刚开始的思路，后来发下不对因为这样是统计出的1在这个整数中出现的次数，而不是从1到n出现的次数。。。。。。

若第一位1那么从第二位到第六位这五位可以是0-9的任意组合也就是说有10^5个。还是画图比较好理解：

123456

由于第一位是1也就是说固定最高位，其余的五位无论是什么数字都可以和1构成一个含有1的整数，那么这里问题来了，这里肯定有大于这个整数的数拿这些数又该如何去掉呢。其实就是去掉最高位，剩余的数就是含有100000--1234546中含有23456个。如果1不在最高位的情况呢？

312456

想不太清楚了就。后来看了答案才有点明白：

 我们用一个稍微大一点的数字21345作为例子来分析。我们把从1到21345的所有数字分成两段即1-1345和1346-21345（分段好处在于便于进行递归运算，因为1345位21345去掉最高位的结果）。

        先来看1346-21345中1出现的次数。1的出现分为两种情况：一种情况是1出现在最高位（万位）。从1到21345的数字中，1出现在10000-19999这10000个数字的万位中，一共出现了10000（10^4）次；另外一种情况是1出现在除了最高位之外的其他位中。例子中1346-21345，这20000个数字中后面四位中1出现的次数是2000次（2*10^3，其中2的第一位的数值，10^3是因为数字的后四位数字其中一位为1，其余的三位数字可以在0到9这10个数字任意选择，由排列组合可以得出总次数是2*10^3）。

        至于从1到1345的所有数字中1出现的次数，我们就可以用递归地求得了。这也是我们为什么要把1-21345分为1-1345和1346-21345两段的原因。因为把21345的最高位去掉就得到1345，便于我们采用递归的思路。

        分析到这里还有一种特殊情况需要注意：前面我们举例子是最高位是一个比1大的数字，此时最高位1出现的次数10^4（对五位数而言）。但如果最高位是1呢？比如输入12345，从10000到12345这些数字中，1在万位出现的次数就不是10^4次，而是2346次了，也就是除去最高位数字之后剩下的数字再加上1。

红字部分来自书上的解释。

代码如下：

#include "stdafx.h"#include "stdlib.h"#include <iostream>#include <string>#include <stack>#include <math.h>using namespace std;//1到n字符串中包含1的总个数int CharNumberOf1(const char *strN){int numFirstDigit=0,numOtherDigit=0,numRecursive=0;int len=strlen(strN);int firstDigit=*strN-'0'; if(len==1&&firstDigit==0)return 0;if(len==1&&firstDigit>0)return 1;//首位为1的个数if(firstDigit==1)numFirstDigit=atoi(strN+1)+1;elsenumFirstDigit=pow(10,len-1);//其他位为1的个数numOtherDigit=firstDigit*(len-1)*pow(10,len-2);//递归numRecursive=CharNumberOf1(strN+1);return numFirstDigit+numOtherDigit+numRecursive;}//整数中包含1的总个数int NumberOf1(int n){char strN[50];sprintf(strN,"%d",n);return CharNumberOf1(strN);}void main(){cout<<NumberOf1(21345)<<endl; }