从1到n整数中1出现的次数

题目描述

求出1~13的整数中1出现的次数,并算出100~1300的整数中1出现的次数？为此他特别数了一下1~13中包含1的数字有1、10、11、12、13因此共出现6次,但是对于后面问题他就没辙了。ACMer希望你们帮帮他,并把问题更加普遍化,可以很快的求出任意非负整数区间中1出现的次数。

方法一、

class Solution {public:    int numberOf1(int n)    {        int number=0;        while(n)        {            if(n%10==1)                number++;            n=n/10;        }        return number;    }            int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        int number=0;        for(int i=1;i<=n;i++)        {            number+=numberOf1(i);        }        return number;        }};

方法二、

一、1的数目

编程之美上给出的规律：

1. 如果第i位（自右至左，从1开始标号）上的数字为0，则第i位可能出现1的次数由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1。

2. 如果第i位上的数字为1，则第i位上可能出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响（若没有低位，视低位为0），等于更高位数字X当前位数的权重10i-1+（低位数字+1）。

3. 如果第i位上的数字大于1，则第i位上可能出现1的次数仅由更高位决定（若没有高位，视高位为0），等于（更高位数字+1）X当前位数的权重10i-1。

二、X的数目

这里的  X∈[1,9] ，因为  X=0  不符合下列规律，需要单独计算。

首先要知道以下的规律：

• 从 1 至 10，在它们的个位数中，任意的 X 都出现了 1 次。
• 从 1 至 100，在它们的十位数中，任意的 X 都出现了 10 次。
• 从 1 至 1000，在它们的百位数中，任意的 X 都出现了 100 次。

依此类推，从 1 至  10 i ，在它们的左数第二位（右数第  i  位）中，任意的 X 都出现了  10 i−1 次。

这个规律很容易验证，这里不再多做说明。

接下来以  n=2593,X=5  为例来解释如何得到数学公式。从 1 至 2593 中，数字 5 总计出现了 813 次，其中有 259 次出现在个位，260 次出现在十位，294 次出现在百位，0 次出现在千位。

现在依次分析这些数据，首先是个位。从 1 至 2590 中，包含了 259 个 10，因此任意的 X 都出现了 259 次。最后剩余的三个数 2591, 2592 和 2593，因为它们最大的个位数字 3 < X，因此不会包含任何 5。（也可以这么看，3<X，则个位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（259）X101-1=259）。

然后是十位。从 1 至 2500 中，包含了 25 个 100，因此任意的 X 都出现了  25×10=250  次。剩下的数字是从 2501 至 2593，它们最大的十位数字 9 > X，因此会包含全部 10 个 5。最后总计 250 + 10 = 260。（也可以这么看，9>X，则十位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（25+1）X102-1=260）。

接下来是百位。从 1 至 2000 中，包含了 2 个 1000，因此任意的 X 都出现了  2×100=200 次。剩下的数字是从 2001 至 2593，它们最大的百位数字 5 == X，这时情况就略微复杂，它们的百位肯定是包含 5 的，但不会包含全部 100 个。如果把百位是 5 的数字列出来，是从 2500 至 2593，数字的个数与百位和十位数字相关，是 93+1 = 94。最后总计 200 + 94 = 294。（也可以这么看，5==X，则百位上可能出现X的次数不仅受更高位影响，还受低位影响，等于更高位数字（2）X103-1+（93+1）=294）。

最后是千位。现在已经没有更高位，因此直接看最大的千位数字 2 < X，所以不会包含任何 5。（也可以这么看，2<X，则千位上可能出现的X的次数仅由更高位决定，等于更高位数字（0）X104-1=0）。

到此为止，已经计算出全部数字 5 的出现次数。

总结一下以上的算法，可以看到，当计算右数第  i  位包含的 X 的个数时：

1. 取第  i  位左边（高位）的数字，乘以  10 i−1 ，得到基础值  a 。
2. 取第  i  位数字，计算修正值：
   1. 如果大于 X，则结果为  a+ 10 i−1 。
   2. 如果小于 X，则结果为  a 。
   3. 如果等 X，则取第  i  位右边（低位）数字，设为  b ，最后结果为  a+b+1 。

相应的代码非常简单，效率也非常高，时间复杂度只有  O( log 10 n) 。

/*当计算右数第  i  位包含的 X 的个数时：取第  i  位左边（高位）的数字，乘以  10 i−1 ，得到基础值  a 。取第  i  位数字，计算修正值：如果大于 X，则结果为  a+ 10 i−1 。如果小于 X，则结果为  a 。如果等 X，则取第  i  位右边（低位）数字，设为  b ，最后结果为  a+b+1 。*/class Solution {public:    int NumberOfXBetween1AndN(int n,int x)    {        if(n<0||x<1||x>9)            return 0;        int high=n,mode,cur,low,i=1;        int total=0;        while(high!=0)        {            high=n/(int)pow(10,i);// 获取第i位的高位                        mode=n%(int)pow(10,i);            cur=mode/(int)pow(10,i-1);// 获取第i位            low=mode%(int)pow(10,i-1);// 获取第i位的低位                        if(cur==x)                total+=high*(int)pow(10,i-1)+low+1;            else if(cur<x)                total+=high*(int)pow(10,i-1);            else                total+=(high+1)*(int)pow(10,i-1);                            i++;        }                return total;    }    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        return NumberOfXBetween1AndN( n,1);    }};

方法三、转化字符串

class Solution {public:    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {    string str;        int count=0;        for(int i=1;i<=n;i++)            str+=to_string(i);        for(int j=0;j<str.size();j++)            if(str[j]=='1')            count++;                    return count;    }};

方法四、四行最简法

主要思路：设定整数点（如1、10、100等等）作为位置点i（对应n的各位、十位、百位等等），分别对每个数位上有多少包含1的点进行分析

根据设定的整数位置，对n进行分割，分为两部分，高位n/i，低位n%i

当i表示百位，且百位对应的数>=2,如n=31456,i=100，则a=314,b=56，此时百位为1的次数有a/10+1=32（最高两位0~31），每一次都包含100个连续的点，即共有(a%10+1)*100个点的百位为1

当i表示百位，且百位对应的数为1，如n=31156,i=100，则a=311,b=56，此时百位对应的就是1，则共有a%10(最高两位0-30)次是包含100个连续点，当最高两位为31（即a=311），本次只对应局部点00~56，共b+1次，所有点加起来共有（a%10*100）+(b+1)，这些点百位对应为1

当i表示百位，且百位对应的数为0,如n=31056,i=100，则a=310,b=56，此时百位为1的次数有a/10=31（最高两位0~30）

综合以上三种情况，当百位对应0或>=2时，有(a+8)/10次包含所有100个点，还有当百位为1(a%10==1)，需要增加局部点b+1

之所以补8，是因为当百位为0，则a/10==(a+8)/10，当百位>=2，补8会产生进位位，效果等同于(a/10+1)

class Solution {public:    int NumberOf1Between1AndN_Solution(int n)    {        int count=0;        long long i=1;        for(i=1;i<=n;i*=10)        {            //i表示当前分析的是哪一个数位            int a = n/i;            int b = n%i;            count=count+(a+8)/10*i+(a%10==1)*(b+1);        }        return count;    }};