数列

来源：互联网发布：融资软件编辑：程序博客网时间：2024/05/17 04:31

题目描述 Description
a[1]=a[2]=a[3]=1

a[x]=a[x-3]+a[x-1] (x>3)

求a数列的第n项对1000000007（10^9+7）取余的值。

输入描述 Input Description
第一行一个整数T，表示询问个数。

以下T行，每行一个正整数n。

输出描述 Output Description
每行输出一个非负整数表示答案

样例输入 Sample Input
3

10
样例输出 Sample Output
4

数据范围及提示 Data Size & Hint
对于30%的数据 n<=100；

对于60%的数据 n<=2*10^7；

对于100%的数据 T<=100，n<=2*10^9；
题解：
一个比较裸的矩阵乘
构造如下矩阵
⎡⎣⎢110001100⎤⎦⎥ ×⎡⎣⎢x[n−1]x[n−2]x[n−3]⎤⎦⎥=⎡⎣⎢x[n]x[n−1]x[n−2]⎤⎦⎥
然后计算第一个矩阵的n-3次方再乘上
⎡⎣⎢x[3]x[2]x[1]⎤⎦⎥即可
代码：

#include<iostream>#include<cstdio>#define m 1000000007using namespace std;long long ans[10][10],n,aa[10][10],sum,t;bool f;inline long long cheng(long long a,long long b){    long long ans(0);    a=a%m;    while (b>0)     {        if (b%2==1)          ans=(ans+a)%m;        b/=2;        a=(a*2)%m;     }     return ans;}inline void power(long long x){    long long k[5][5];    while (x>0)     {        if (x%2==1)          {             if (f==false)               {                 for (int i=1;i<=3;i++)                   for (int j=1;j<=3;j++)                     ans[i][j]=aa[i][j];                 f=true;                              }            else            {             for (int i=1;i<=3;i++)               for (int j=1;j<=3;j++)               {                k[i][j]=0;                 for (int p=1;p<=3;p++)                     k[i][j]=(k[i][j]+cheng(ans[i][p],aa[p][j]))%m;               }             for (int i=1;i<=3;i++)               for (int j=1;j<=3;j++)                 ans[i][j]=k[i][j];            }          }         x/=2;         for (int i=1;i<=3;i++)           for (int j=1;j<=3;j++)             {              k[i][j]=0;              for (int p=1;p<=3;p++)                k[i][j]=(k[i][j]+cheng(aa[i][p],aa[p][j]))%m;             }          for (int i=1;i<=3;i++)          for (int j=1;j<=3;j++)            aa[i][j]=k[i][j];     }} int main(){    cin>>t;    while (t--)    {     cin>>n;     if (n==1||n==2||n==3)         cout<<1<<endl;     else     {      f=false;      aa[1][1]=1;aa[1][2]=0;aa[1][3]=1;      aa[2][1]=1;aa[2][2]=0;aa[2][3]=0;      aa[3][1]=0;aa[3][2]=1;aa[3][3]=0;      power(n-3);      sum=(cheng(ans[1][1],1)+cheng(ans[1][2],1)+cheng(ans[1][3],1))%m;      printf("%lld\n",sum);     }   }}

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