Uva 11426 GCD - Extreme (II)（基本数论）

筛选法求欧拉函数值，之后筛选法求出g[i]的值，然后遍历求解....

关于g这个值，可以断定g[i]=phi[i]+gcd(i,j)，1<j<i，并且和i不互质。

设函数g(n) = gcd(i,n) (1<=i<=n)，对于任意给定的i 。 g(1) = 1 ,g(n)=g(m1)*g(m2) (n=m1*m2 且 （m1, m2）= 1)，由积性函数定义,g是积性函数。由具体数学上的结论，积性函数的和也是积性的。所以f(n) = ∑gcd(i, n)也是积性函数。n>1时n可以被唯一分解 n=p1^a1*p2^a2*...*ps^as，由于f(n)是积所以f(n) = f(p1^a1)*f(p2^a2)*...f(pr^ar)。所以只要求f(pi^ai)就好，如果d是n的一个约数，那么1<=i<=n中gcd(i,n) = d的个数是phi(n/d)，即n/d的欧拉函数

f(pi^ai) =  Φ（pi^ai）+pi*Φ（pi^(ai-1)）+pi^2*Φ（pi^(ai-2)）+...+pi^(ai-1)* Φ（pi）+ pi^ai *Φ（1）

     = pi^(ai-1)*(pi-1) + pi*pi^(ai-2)*(pi-1)....+pi^ai

     =  pi^ai*(1+ai*(1-1/pi))

上面那段话是含n的，这个题目是不含n的..

附上代码：

#include<cstdio>#include<cstring>#include<algorithm>#include<cstdlib>#include<cctype>#include<iostream>#include<cmath>#include<set>using namespace std;#define eps 1e-8#define N 4000000#define LL long longLL ans[N+10];int phi[N+10],g[N+10];void euler(){    for(int i=1;i<=N;i++)        phi[i]=i;    phi[1]=1;    for(int i=2;i<=N;i++)    {        if(phi[i]==i)        {            phi[i]=i-1;            for(int j=i+i;j<=N;j+=i)            {                phi[j]=phi[j]/i*(i-1);            }        }    }}void db(){    euler();    memset(g,0,sizeof(g));    for(int i=1;i<=N;i++)    {        for(int j=i+i;j<=N;j+=i)            g[j]+=i*phi[j/i];    }    ans[2]=g[2];    for(int i=3;i<=N;i++)        ans[i]=ans[i-1]+g[i];}int main(){    db();    int n;    while(scanf("%d",&n),n)        printf("%lld\n",ans[n]);    return 0;}