渐进符号
来源:互联网 发布:工程软件管理 编辑:程序博客网 时间:2024/04/30 09:37
Θ符号
Θ(g(n))={f(n):对于存在正常数c1、c2和非负的整数n0,以及足够大的n,对于所有的n≥n0来说,
有c1g(n)<=f (n)<=c2g(n)。}
若存在正常数c1、c2,使得对于足够大的n, f (n)能“夹入”c1g(n)和c2g(n)之间,则f (n)属于集合Θ(g(n))。
如图a,f (n)=Θ(g(n)),对所有的n>n0,函数f(n)在一个常量因子内等于g(n).我们称g(n)是f(n)的一个渐进紧确界。
3n+2=Θ(n),当c1=3,c2=4,n>=n0=2时,3n<=3n+2<=4n。
大写O符号
Θ记号渐进的给出了一个函数的上界和下界。当只有一个渐进上界时,使用大O符号。
O的定义:当且仅当存在正的常数c和n0,使得对于所有的n>=n0,有f(n)<=cg(n)。
这里cg(n)就是函数f(n)的上限。
几种函数的例子:
1.线性函数
f(n)=3n+2,当n>=2时,3n+2<=3n+n=4n。所以f(n)=O(n),这里c就是4,n0=2。
2.平方函数
f(n)=2n^2+3n+3,当n>=3时,3n+3<=4n,当n>=4时,4n<n^2,f(n)=2n^2+n^2=3n^2。
f(n)=O(n^2),这里c是3,n0=4。
3.指数函数
f(n)=6*2^n+n^2,当n>=4时,n^2<=2^n,所以当n>=4,有f(n)<=6*2^n+2^n=7*2^n。
这里c是7,n0=4,f(n)=O(2^n)。
4.常数阶
f(n)=9,这里就直接记为O(1),c为9,n0为0就可以了,f(n)=9<=9*1。
Ω符号
f(n)=Ω(g(n)),当且仅当存在正的常数c和n0,使得对于所有n>=n0,有f(n)>=cg(n)。
Ω符号是给函数的下限。
例子:对于所有的n,有f(n)=3n+2>3n,所以f(n)=Ω(n),这里c=3,n0=0。这里也可以这样f(n)=Ω(1),
定理:对任意两个函数f(n)和g(n),我们有f(n)=Θ(g(n)),当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)=Ω(g(n))。
小写o符号
定义:f(n)=o(g(n))当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)!=Ω(g(n))。
ω(小欧米伽):非紧的下界。 相当于">"
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