渐进符号

2.1 分析框架

2.1.1 输入规模的度量

• 大多数情况，以输入数n
• 矩阵，维数
• 数值算法，数字的比特数

2.1.2 运行时间的度量单位

1. 找出算法中最重要的操作，即基本操作
2. 计算他们的运行次数

2.1.3 增长次数

logn      n        nlogn        n²       n³       2ⁿ        n!

2.1.4 算法的最优、最差和平均效率

• 最优效率
• 最差效率
• 平均效率
• 摊销效率

2.2 渐进符号和基本效率类型

2.2.1 介绍Ο，Ω，Θ

Ο (g(n))是增长次数小于等于g(n)的函数集合

Ω (g(n))是增长次数大于等于g(n)的函数集合

 

Θ(g(n))是增长次数等于g(n)的函数集合

2.2.2 符号Ο

2.2.5 渐进符号的有用特性

2.2.6 利用极限比较增长次数

 

前两种情况：

后两种情况：

第二种情况：

2.2.7 基本的效率类型

2.3 非递归算法的数学分析

分析非递归算法效率的通用方案：

1. 决定用哪个(些)参数作为输入规模的度量
2. 找出算法的基本操作(作为一个规律，它总是位于算法的最内层循环)
3. 检查基本操作的执行次数是否只依赖输入规模。如它还依赖一些其他的特性，如输入顺序等，则最差效率、平均效率以及最优效率需要分别研究。
4. 建立一个算法基本操作执行次数的求和表达式
5. 利用求和运算的标准公式和法则来建立一个操作次数的闭合公式，或至少确定它的增长次数。

求和运算的两个基本规则：

两个常见求和公式：

2.4 递归算法的数学分析

用递推式的形式来表达基本操作次数

1. 决定用那些参数作为输入规模的度量
2. 找出算法的基本操作
3. 检查一下，对于相同规模的不同输入，基本操作的执行次数是否不同。如果不同，则必须对最差效率、平均效率以及最优效率作单独研究
4. 对于算法基本操作的执行次数，建立一个递推关系以及相应的初始条件
5. 解这个递推式，或者至少确定它的解的增长次数