数的划分---动态规划

题目描述 Description

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5

1 5 1

5 1 1
问有多少种不同的分法。

输入描述 Input Description

输入：n，k (6<n<=200，2<=k<=6)

输出描述 Output Description

输出：一个整数，即不同的分法。

样例输入 Sample Input

 7 3

样例输出 Sample Output

4

数据范围及提示 Data Size & Hint

 {四种分法为：1，1，5;1，2，4;1，3，3;2，2，3;}

我是参考讨论区里的一位大神的解法做出来的

下面贴出这个解法

这一题实际上是组合数学里面的经典问题，跟第二类Stirling数有些相似。可以把一个数值为n的数看成n个小球，

划分的份数k看作是k个盒子，那么本题的要求就是：

将n个小球放到k个盒子中，小球之间与盒子之间没有区别，并且最后的结果不允许空盒

与第二类Stirling数的递推公式的推导过程相似：

将n个小球放到k个盒子中的情况总数 =

1. 至少有一个盒子只有一个小球的情况数

+

2. 没有一个盒子只有一个小球的情况数



这样进行划分的原因是这种分类足够特殊，1和2都有可以写出来的表达式：

1. 因为盒子不加区分，那么1的情况数与“将n-1个小球放到k-1个盒子中”的情况数一样

2. 没有一个盒子只有一个小球，那么把每个盒子中拿出来一个小球，对应的是“把(n-k)个小球放到k个盒子中的情况数”

至于1和2中的两种等价关系为什么成立，可以用集合A=集合B的方式去证明



最后将上面的叙述转化为dp的表达形式：

f[n][k]代表将n个小球放到k个盒子中且没有空盒的情况，那么

f[n][k] = f[n-1][k-1] + f[n-k][k]

转化成代码即可

#include<stdio.h>int f[205][10];int main(){int n, k, i, j;scanf("%d%d", &n, &k);for (i = 1; i <= n; i++)f[i][1] = 1;f[0][0] = 1;for (i = 1; i <= n; i++){for (j = 1; j <= k && j <= i; j++){f[i][j] = f[i - 1][j - 1] + f[i - j][j];}}printf("%d\n", f[n][k]);return 0;}