《剑指Offer》学习笔记--面试题64：数据流中的中位数

题目：如何得到一个数据流中的中位数？如果从数据流中读出奇数个数值，那么中位数就是所有值排序之后位于中间的数值。如果数据流中读出偶数个数值，那么中位数就是所有数值排序之后中间两个数的平均值。

由于数据是从一个数据流中读出来的，数据的数目随着时间的变化而增加。如果用一个数据容器来保存从流中读出来的数据，当有新的数据流中读出来时，这些数据就插入到数据容器中。这个数据容器用什么数据结构定义更合适呢？

数组是最简单的容器。如果数组没有排序，可以用Partition函数找出数组中的中位数。在没有排序的数组中插入一个数字和找出中位数的时间复杂度是O(1)和O(n)。

我们还可以往数组里插入新数据时让数组保持排序，这是由于可能要移动O(n)个数，因此需要O(n)时间才能完成插入操作。在已经排好序的数组中找出中位数是一个简单的操作，只需要O(1)时间即可完成。

排序的链表时另外一个选择。我们需要O(n)时间才能在链表中找到合适的位置插入新的数据。如果定义两个指针指向链表的中间结点（如果链表的结点数目是奇数，那么这两个指针指向同一个结点），那么可以在O（1）时间得出中位数。此时时间效率与及基于排序的数组的时间效率一样。

二叉搜索树可以把插入新数据的平均时间降低到O(logn)。但是，当二叉搜索树极度不平衡从而看起来像一个排序的链表时，插入新数据的时间仍然是O(n)。为了得到中位数，可以在二叉树结点中添加一个表示子树结点数目的字段。有了这个字段，可以在平均O(logn)时间得到中位数，但差情况仍然是O(n).

为了避免二叉搜索树的最差情况，还可以利用平衡的二叉搜索树，即AVL树。通常AVL树的平衡因子是左右子树的高度差。可以稍作修改，把AVL的平衡因子改为左右子树结点数目只差。有了这个改动，可以用O(logn)时间往AVL树中添加一个新结点，同时用O(1)时间得到所有结点的中位数。

AVL树的时间效率很高，但大部分编程语言的函数库中都没有实现这个数据结构。应聘者在短短几十分钟内实现AVL的插入操作是非常困难的。于是我们不得不再分析还有没有其它的方法。

如果能够保证数据容器左边的数据都小于右边的数据，这样即使左、右两边内部的数据没有排序，也可以根据左边最大的数及右边最小的数得到中位数。如何快速从一个容器中找出最大数？用最大堆实现这个数据容器，因为位于堆顶的就是最大的数据。同样，也可以快速从最小堆中找出最小数。因此可以用如下思路来解决这个问题：用一个最大堆实现左边的数据容器，用最小堆实现右边的数据容器。往堆中插入一个数据的时间效率是O(logn).由于只需O(1)时间就可以得到位于堆顶的数据，因此得到中位数的时间效率是O(1).

接下来考虑用最大堆和最小堆实现的一些细节。首先要保证数据平均分配到两个堆中，因此两个堆中数据的数目之差不能超过1（为了实现平均分配，可以在数据的总数目是偶数时把新数据插入到最小堆中，否则插入到最大堆中）。

还要保证最大堆中里的所有数据都要小于最小堆中的数据。当数据的总数目是偶数时，按照前面分配的规则会把新的数据插入到最小堆中。如果此时新的数据比最大堆中的一些数据要小，怎么办呢？

可以先把新的数据插入到最大堆中，接着把最大堆中的最大的数字拿出来插入到最小堆中。由于最终插入到最小堆的数字是原最大堆中最大的数字，这样就保证了最小堆中的所有数字都大于最大堆中的数字。

当需要把一个数据插入到最大堆中，但这个数据小于最小堆里的一些数据时，这个情形和前面类似。

以下是C++实现的参考代码。我们基于STL中的函数push_heap、pop_heap及vector实现堆。比较仿函数less和greater分别用来实现最大堆和最小堆。

template<typename T> class DynamicArray{public:void Insert(T num){if(((min.size() + max.size()) & 1) == 0){if(max.size() > 0 && num < max[0]){max.push_back(num);push_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());num = max[0];pop_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());max.pop_back();}min.push_back(num);push_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());}else{if(min.size() > 0 && min[0] < num){min.push_back(num);push_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());num = min[0];pop_heap(min.begin(), min.end(), greater<T>());min.pop_back();}max.push_back(num);push_heap(max.begin(), max.end(), less<T>());}}T GetMedian(){int size = min.size() + max.size();if(size == 0)throw exception("No numbers are available");T median = 0;if((size & 1) == 1)median = min[0];elsemedian = (min[0] + max[0]) / 2;return median;}private:vector<T> min;vector<T> max;};

在上述代码中，min是一个最小堆，max是一个最大堆。函数Insert用来插入从数据流中读出来的数据，函数GetMedian用来得到已有所有数据的中位数。