[UVA 12589]Learning Vector[DP]

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题意分析：给出n个矢量，从中选择k个，以坐标原点为起点，收尾相连，问：这样的k个周围相连矢量与x轴围成图形的最大面积的两倍是多少？

解题思路：考虑状态：dp[id][pick][h]代表到第id个矢量为止，选择pick个矢量离最大面积还差多少，h为当前图形最右端高度。具体转移看代码。

这里着重说一下为什么要对这些矢量按斜率进行排序：

首先，整个求解过程其实就是在暴力枚举这些向量的组合，只不过采用了记忆化搜索优化。

其次，对于选出来的矢量，我们一定按照斜率大的先放的策略进行放置。理由如下：

对于任意选定的一组矢量收尾相加（这里的矢量都满足x>=0,y>=0)，其最终最右端高度是一样的，其水平宽度是一样的。每一个矢量都为它的后继矢量提供了一个基底高度，下图红色部分即为第一个矢量提供的基底高度，斜率高的矢量具有高度高，长度短的特点，为后继提供的面积更大。至此，粗略证明了贪心的正确性。

个人感受：嘛，大部分时间都花在了理解贪心上。总的来说这题还是蛮有收获的，想过用状压枚举子集，然后发现50个点哭瞎，没想到还能这样枚举~
具体代码如下：

#include<iostream>#include<cctype>#include<cstdio>#include<cstring>#include<string>#include<cmath>#include<algorithm>using namespace std;typedef long long ll;const int INF = 0x3f3f3f3f;const int MAXN = 55;int vis[MAXN][MAXN][3000], dp[MAXN][MAXN][3000], t, n, k, kase;struct V{int x, y;bool operator <(const V &t)const{return y * t.x > x * t.y; //斜率[y/x]>[t.y/t.x]}}v[MAXN];int dfs(int id, int pick, int h){int &ret = dp[id][pick][h];if (pick == k) return ret = 0; //到这里，离最大面积只剩0了if (id == n) return ret = -INF; //不满足条件，返回-INFif (vis[id][pick][h] == kase) return ret;vis[id][pick][h] = kase;ret = 0;ret = max(ret, dfs(id + 1, pick, h)); //不取第个id个ret = max(ret, dfs(id + 1, pick + 1, h + v[id].y) + 2*v[id].x*h+v[id].x*v[id].y); //取第id个return ret;}int main(){for (kase = scanf("%d",&t); kase <= t; ++kase){    cin >> n >> k;    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> v[i].x >> v[i].y;    sort(v, v + n);    cout << "Case " << kase << ": " << dfs(0,0,0) << '\n';}return 0;}