HDU 1565 方格取数(1)（最大独立点权覆盖 | 最小割）

该题是一道经典的求最大点权独立集问题的题目 。  关于定义我就不多说了 。 说一下几个重要的关系 ：
1.最大流 = 最小割 = 最小点权覆盖集 = sum - 最大点权独立集 。

因此，该题其实还可以用最小割来做，思想是相同的 。 

因为我们不能取相邻的数字，所以很容易联想到最小割  。

那么我们可以先给每个格子编号1或2，形成二分图。 然后由1到2连边 。容量INF，与源点和汇点相连的容量为对应点的值。

这样，求得的最大流也是最小割。  最大点权独立集 = sum - 最小割 。

需要注意的是：上述的一切都是基于这样一个事实：图是二分图 。因此我们必须要构建一个单向连通的图，不能产生自环，这个在建图的时候要重视，不然会莫名WA 。

细节参见代码：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;const int maxn = 20*20*2;typedef long long ll;const int INF = 1000000000;int T,n,m,id1[55][55],id2[55][55];struct Edge {  int from, to, cap, flow;};bool operator < (const Edge& a, const Edge& b) {  return a.from < b.from || (a.from == b.from && a.to < b.to);}struct Dinic {  int n, m, s, t;  vector<Edge> old;  vector<Edge> edges;    // 边数的两倍  vector<int> G[maxn];   // 邻接表，G[i][j]表示结点i的第j条边在e数组中的序号  bool vis[maxn];        // BFS使用  int d[maxn];           // 从起点到i的距离  int cur[maxn];         // 当前弧指针void init(int n) {    for(int i = 0; i < n; i++) G[i].clear();    edges.clear();}void AddEdge(int from, int to, int cap) {    edges.push_back((Edge){from, to, cap, 0});    edges.push_back((Edge){to, from, 0, 0});    m = edges.size();    G[from].push_back(m-2);    G[to].push_back(m-1);}bool BFS() {    memset(vis, 0, sizeof(vis));    queue<int> Q;    Q.push(s);    vis[s] = 1;    d[s] = 0;    while(!Q.empty()) {      int x = Q.front(); Q.pop();      for(int i = 0; i < G[x].size(); i++) {        Edge& e = edges[G[x][i]];        if(!vis[e.to] && e.cap > e.flow) {          vis[e.to] = 1;          d[e.to] = d[x] + 1;          Q.push(e.to);        }      }    }    return vis[t];}int DFS(int x, int a) {    if(x == t || a == 0) return a;    int flow = 0, f;    for(int& i = cur[x]; i < G[x].size(); i++) {      Edge& e = edges[G[x][i]];      if(d[x] + 1 == d[e.to] && (f = DFS(e.to, min(a, e.cap-e.flow))) > 0) {        e.flow += f;        edges[G[x][i]^1].flow -= f;        flow += f;        a -= f;        if(a == 0) break;      }    }    return flow;}int Maxflow(int s, int t) {    this->s = s; this->t = t;    int flow = 0;    while(BFS()) {      memset(cur, 0, sizeof(cur));      flow += DFS(s, INF);    }    return flow;  }}g;int a[55][55];int dx[] = {0,1,0,-1};int dy[] = {1,0,-1,0};int main() {    while(~scanf("%d",&n)) {        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++)                scanf("%d",&a[i][j]);        int s[21][21] = {0}, sum = 0;        s[1][1] = 1; g.init(n*n+5);        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++)                if(s[i][j] == 1) { //编号，建立二分图                    for(int k=0;k<4;k++) {                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n || s[x][y] != 0) continue;                        s[x][y] = 2;                    }                }                else {                    for(int k=0;k<4;k++) {                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n || s[x][y] != 0) continue;                        s[x][y] = 1;                    }                }        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=1;j<=n;j++) {                sum += a[i][j];                if(s[i][j] == 1) { //由1集合的点向2集合的点连边                    int id = (i-1)*n + j ;                    g.AddEdge(0,id,a[i][j]);//这样，最小割的意义就是割去1集合的点或割去2中的某点                    for(int k=0;k<4;k++) {                        int x = dx[k]+i, y = dy[k]+j;                        if(x < 1 || x > n || y < 1 || y > n ) continue;                        g.AddEdge(id,(x-1)*n+y,INF);                    }                }                else { //不可反向连边，会形成环。                    int id = (i-1)*n + j;                    g.AddEdge(id,n*n+1,a[i][j]);                }            }        printf("%d\n",sum - g.Maxflow(0,n*n+1));    }    return 0;}