POJ 1637 Sightseeing tour(混合图的欧拉回路)

题目大意：给出一张混合图，问能否构成欧拉回路

解题思路：混合图的欧拉回路，这是一类问题，用网络流解决
首先先定向所有的无向边，看是否每个点都满足(入度-出度)的绝对值%2==0，如果有不为0的，表示该点的度数为奇数度，就不能构成欧拉回路了
我们取每个点的(入度-出度)的绝对值/2的值为该点和源点或者汇点连边的容量，接着是讨论一下，该点和源点连接还是和汇点连接
因为有向边是不需要定向的，所以构图的时候就不需要用到了，构图的时候，先把定向的无向边构好
因为我们定向的时候，是一条有向边的，也就是说我们构造的图和该有向边配合起来，要形成一张连通图
所以我们取出度-入度 >0的点和源点相连，其他的点和汇点相连
这里解释一下为什么要这样连接，首先，我们是出度比入度大的点和源点相连的，如果改变有流流过，流过多少，就表示取反了了多少条边，这样，该点的入度和出度之差相应就变化了，当改边流满的时候，就表示该点的入度-出度为0了
和汇点相连的点也是一样

以上是我自己的理解，表示可能比较戳，下面附带别人的解释

1 定义
欧拉通路 (Euler tour)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的通路。
欧拉回路 (Euler circuit)——通过图中每条边一次且仅一次，并且过每一顶点的回路。
欧拉图——存在欧拉回路的图。
2 无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
G有欧拉通路的充分必要条件为：G 连通，G中只有两个奇度顶点(它们分别是欧拉通路的两个端点)。
G有欧拉回路(G为欧拉图)：G连通，G中均为偶度顶点。
3 有向图是否具有欧拉通路或回路的判定
D有欧拉通路：D连通，除两个顶点外，其余顶点的入度均等于出度，这两个特殊的顶点中，一个顶点的入度比出度大1，另一个顶点的入度比出度小1。
D有欧拉回路(D为欧拉图)：D连通，D中所有顶点的入度等于出度。
4 混合图。混合图也就是无向图与有向图的混合，即图中的边既有有向边也有无向边。
5 混合图欧拉回路
混合图欧拉回路用的是网络流。
把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。因为欧拉回路要求每点入度 = 出度，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。
现在每个点入度和出度之差均为偶数。将这个偶数除以2，得x。即是说，对于每一个点，只要将x条边反向（入>出就是变入，出>入就是变出），就能保证出 = 入。如果每个点都是出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。
现在的问题就变成了：该改变哪些边，可以让每个点出 = 入？构造网络流模型。有向边不能改变方向，直接删掉。开始已定向的无向边，定的是什么向，就把网络构建成什么样，边长容量上限1。另新建s和t。对于入 > 出的点u，连接边(u, t)、容量为x，对于出 > 入的点v，连接边(s, v)，容量为x（注意对不同的点x不同。当初由于不小心，在这里错了好几次）。之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。查看流值分配，将所有流量非 0（上限是1，流值不是0就是1）的边反向，就能得到每点入度 = 出度的欧拉图。
由于是满流，所以每个入 > 出的点，都有x条边进来，将这些进来的边反向，OK，入 = 出了。对于出 > 入的点亦然。那么，没和s、t连接的点怎么办？和s连接的条件是出 > 入，和t连接的条件是入 > 出，那么这个既没和s也没和t连接的点，自然早在开始就已经满足入 = 出了。那么在网络流过程中，这些点属于“中间点”。我们知道中间点流量不允许有累积的，这样，进去多少就出来多少，反向之后，自然仍保持平衡。
所以，就这样，混合图欧拉回路问题，解了。

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>#include <vector>#include <queue>using namespace std;const int MAXNODE = 210;const int MAXEDGE = 100010;typedef int Type;const Type INF = 0x3f3f3f3f;struct Edge{    int u, v, next;    Type cap, flow;    Edge() {}    Edge(int u, int v, Type cap, Type flow, int next) : u(u), v(v), cap(cap), flow(flow), next(next){}};struct Dinic{    int n, m, s, t;    Edge edges[MAXEDGE];    int head[MAXNODE];    bool vis[MAXNODE];    Type d[MAXNODE];    vector<int> cut;    void init(int n) {        this->n = n;        memset(head, -1, sizeof(head));        m = 0;    }    void AddEdge(int u, int v, Type cap) {        edges[m] = Edge(u, v, cap, 0, head[u]);        head[u] = m++;        edges[m] = Edge(v, u, 0, 0, head[v]);        head[v] = m++;    }     bool BFS() {        memset(vis, 0, sizeof(vis));        queue<int> Q;        Q.push(s);        d[s] = 0;        vis[s] = 1;        while (!Q.empty()) {            int u = Q.front(); Q.pop();            for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {                Edge &e = edges[i];                if (!vis[e.v] && e.cap > e.flow) {                    vis[e.v] = true;                    d[e.v] = d[u] + 1;                    Q.push(e.v);                }            }        }        return vis[t];    }    Type DFS(int u, Type a) {        if (u == t || a == 0) return a;        Type flow = 0, f;        for (int i = head[u]; ~i; i = edges[i].next) {            Edge &e = edges[i];            if (d[u] + 1 == d[e.v] && (f = DFS(e.v, min(a, e.cap - e.flow))) > 0) {                e.flow += f;                edges[i ^ 1].flow -= f;                flow += f;                a -= f;                if (a == 0) break;            }        }        return flow;    }    Type Maxflow(int s, int t) {        this->s = s; this->t = t;        Type flow = 0;        while (BFS()) flow += DFS(s, INF);        return flow;    }    void Mincut() {        cut.clear();        for (int i = 0; i < m; i += 2) {            if (vis[edges[i].u] && !vis[edges[i].v])                 cut.push_back(i);        }    }}dinic;#define maxn 1010#define abs(x)((x)>0?(x):(-(x)))int n, m ,source, sink;int in[maxn], out[maxn];void init() {    scanf("%d%d", &n, &m);    source = 0, sink = n + 1;    dinic.init(sink + 1);    int u, v, b;    memset(in, 0, sizeof(in));    memset(out, 0, sizeof(out));    for (int i = 1; i <= m; i++) {        scanf("%d%d%d", &u, &v, &b);        out[u]++; in[v]++;        if (u != v) {            if (!b) dinic.AddEdge(u, v, 1);        }    }}void solve() {    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if ( abs(in[i] - out[i]) % 2) {            printf("impossible\n");            return ;        }    }    int Sum = 0;    for (int i = 1; i <= n; i++) {        if (out[i] - in[i] > 0) {            dinic.AddEdge(source, i, (out[i] - in[i]) / 2);            Sum += (out[i] - in[i]) / 2;        }        else dinic.AddEdge(i, sink, (in[i] - out[i]) / 2);    }    if (Sum == dinic.Maxflow(source, sink))        printf("possible\n");    else        printf("impossible\n");}int main() {    int test;    scanf("%d", &test);    while (test--) {        init();        solve();    }    return 0;}