POJ 1637 Sightseeing tour 混合欧拉回路

来源：互联网发布：252工程数据编辑：程序博客网时间：2024/05/21 17:34

题意：给出一张图，图中有无向边和有向边。是否存在一条回路，使每条边都只访问一次。

思路：先回忆一下有向图和无向图的欧拉回路和欧拉路径存在的充要条件。

无向图的欧拉路径：整个图为连通图。所有点的度全为偶数，或者只有两个奇数的度，其他都为偶数。

路径为：如果全为偶数，从任意一点出发，都可以。如果有两个点的度为奇数，那终点和起点就是从这两个点选。

无向图的欧拉回路：整个图为连通图。所有点的度全为偶数。

路径为：从任意一点出发，回到该点。

有向图的欧拉路径: 整个图为连通图。所有点的入度等于出度，或着只有两个点入度不等于出度，且一个入度比出度大一，一个出度比入度大一。

路径为：如果所有点的入度等于出度，从任意点出发均可。否则，出度大的点为起点，入度大的点为终点。

有向图的欧拉回路：整个图为连通图。所有点的入度等于出度。

路径为：从任意点出发均可。

我们再回来讨论这道题。

因为图中既有有向边又有无向边，那该拿上面的哪个条件判断呢？不能是无向图，那只能是有向图了。这样，我们就需要对无向边进行定向，使其满足条件。

先对无向边随便定向，判断入度和出度之差，为奇数，是不能成为欧拉回路。

接下来，我们利用网络流来完成无向图的边的定向。对于每个点，需要改变的边的数目是出入度之差的一半。如果入度大于出度，需要补充出度，向汇点连边。如果入度小于出度，需要补充入度，从源点向该点连边。最后，判断源点和汇点是否满流即可。如果是满流，就是存在欧拉回路，否则没有。

那从这个残留网络中，该怎样构造出欧拉回路呢？

对于我们构造的流网络，该点有从源点来的流量，说明，我们需要该点需要补充流量，才能平衡。而，根据流网络的反对称性，我们只需让该边反向，就能让出入度平衡。

代码如下：

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <vector>using namespace std;struct edge{    int from,to;    int cap,flow;    edge(int u =0,int v =0,int c=0,int f=0):from(u),to(v),cap(c),flow(f){}};struct ISAP{    static const int INF = 0x3f3f3f3f;    static const int MAX = 10000;//边的大小    int head[MAX];//每个节点对应链表的开始位置    int next[MAX];//链表的下一个节点在edges数组的位置    int tot;//edges数组的大小    edge edges[2 * MAX];//储存边的数组,两倍大小    int que[MAX],front,tail;//队列，保存节点    int d[MAX];//距离标号    bool vis[MAX];//访问标记    int num[MAX];//gap优化    int pre[MAX];//增广路中，节点X的前面一个弧的标号    int cur[MAX];//对于每个节点的，处理的当前弧。    int s,t,n;//s源点标号，t汇点标号，n节点总数    edge cut[2 * MAX]; //保存割的数组    int cut_cnt;    void init(int n){        this->n = n;//注意此处的下标问题        memset(head,-1,sizeof(head));        tot = cut_cnt =  0;//    }    void addedge(int from,int to, int cap){        edges[tot] = edge(from,to,cap,0);//注意无向边和有向边        next[tot] = head[from], head[from] = tot++;        edges[tot] = edge(to,from,0,0);        next[tot] = head[to],head[to] = tot++;    }    void bfs(){        memset(vis,0,sizeof(vis));        front = tail = 0;        d[t] = 0;        vis[t] = true;        que[tail++] = t;        while(front < tail){            int u = que[front++];            for(int v = head[u]; v != -1; v = next[v]){                edge & e = edges[v^1];                if(e.cap > e.flow && !vis[e.from]){//对处于残余网络中的弧且没访问过的节点处理                    d[e.from] = d[u] + 1;                    vis[e.from] = true;                    que[tail++] = e.from;                }            }        }    }    int augment(){        int x = t,a = INF;        while(x != s){            edge& e = edges[pre[x]];            a = min(a,e.cap - e.flow);            x = e.from;        }        x = t;        while(x != s){            edges[pre[x]].flow += a;            edges[pre[x]^1].flow -= a;            x = edges[pre[x]].from;        }        return a;    }    int maxflow(int s, int t){        this->s = s, this->t = t;        memset(num,0,sizeof(num));        int flow = 0;        bfs();        for(int i = 0; i < n; ++i){//注意此处的下标问题            num[d[i]]++,cur[i] = head[i];        }        int x = s;        while(d[s] < n){            if(x == t){//前进到t,进行增广                flow += augment();                x = s;            }            bool ok = false;            for(int &v = cur[x]; v != -1; v = next[v]){                edge& e = edges[v];                if(e.cap > e.flow && d[x] == d[e.to] + 1){                    ok = true;                    pre[x = e.to] = v;//能增广，前进，记录                    break;                }            }            if(!ok){//不能增广，重新计算距离                int m = n - 1;                for(int v = head[x]; v != -1; v = next[v]){                    edge & e = edges[v];                    if(e.cap > e.flow) m = min(m,d[e.to]);                }                if(--num[d[x]] == 0) break;//gap优化                num[d[x]=m+1]++;                cur[x] = head[x];                if(x != s) x = edges[pre[x]].from;//能回退，回退            }        }        return flow;    }    void mincut(){        bfs();//重新标记，被标记的是t可达的顶点        for(int i = 0 ;i < tot; ++i){            edge & e = edges[i];            if(!vis[e.from] && vis[e.to] && e.cap > 0)                cut[cut_cnt++] = e;        }    }    void print(){        printf("Graph:\n");        for(int i = 0 ; i < tot; ++i){            edge & e = edges[i];            printf("%d->%d c:%d f:%d\n",e.from,e.to,e.cap,e.flow);        }    }} solver;const int MAX = 300;int T,M,S;int ind[MAX],outd[MAX];int x,y,d;int s,t;bool judge(){    int sum = 0;    for(int i = 1; i <= M; ++i){        int dif = abs(ind[i] - outd[i]);        if(dif & 1) return false;        dif >>= 1;        if(ind[i] > outd[i])            solver.addedge(i,t,dif);        else if(ind[i] < outd[i]){            solver.addedge(s,i,dif);            sum += dif;        }    }    return sum == solver.maxflow(s,t);}int main(void){    //freopen("input.txt","r",stdin);    scanf("%d", &T);    while(T--){        memset(ind,0,sizeof(ind));        memset(outd,0,sizeof(outd));        scanf("%d %d", &M, &S);        solver.init(M + 2);        s = 0, t = M + 1;        for(int i = 0; i < S; ++i){            scanf("%d %d %d",&x,&y,&d);            outd[x]++;            ind[y]++;            if(d == 0)                solver.addedge(x,y,1);        }        if(judge())            puts("possible");        else            puts("impossible");        //solver.print();    }    return 0;}

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