排序算法之归并排序

A，归并排序：该算法是分治法的一个应用，先将整个待排序列分成若干子序列，然后使每个子序列有序，再使字序列之间有序，最终使整个序列有序。

B，算法原理：

1）假设我们采用二路归并对{a1，a2，a3，a4，...，an}进行排序；

2）首先将整个序列分成若干段，每段包好两个元素，即{a1，a2}，{a3，a4}，{a5，a6}，{a7，a8}...；

3）然后分别对每个子序列排序（可以采用插入排序等），然后再将已排好序的子序列两两进行合并排序，如将排好序的{a1，a2}，{a3，a4}进行排序合并成4个元素{a1，a2，a3，a4}；

4）然后再将4个元素排序合并成8个，直到完成整个序列的排序。

下面是一组乱序序列的排序过程：

C，算法实现：

#include "iostream"

#include "Math.h"

using namespace std;

int main()

{

        void sort(int[], int, int);

        int array[] = {9,3,8,13,15,1,7,10,2};

        int n = sizeof(array)/sizeof(int*);

        sort(array, 0, n - 1);

        for(int i = 0; i < n; ++i)

                  cout<<array[i]<<" ";

        cout<<endl;

        return 0;

}

//归并排序

//array为待排序的数组，low代表数组第一个元素下标，high代表第二个元素下标

void sort(int array[],int low, int high)

{

        void merge(int[], int, int, int);

        if(low == high)

                  return;

        int mid = ceil((high + low)/2);

        //进行二路归并

        sort(array, low, mid);

        sort(array, mid+1, high);

        merge(array, low, mid, high);

}

//合并函数

//合并时采用直接插入算法，因此没有额外申请空间

void merge(int array[], int low, int mid, inthigh)

{

        int temp, index;

        for(int i = mid + 1; i <= high; ++i)

        {

                  index = i - 1;

                  temp = array[i];

                  while(array[index] > array[i] && index >=low)--index;

                  for(int j = i; j > index + 1; --j)

                           array[j] = array[j-1];

                  array[index+1]=temp;

        }

}

运行结果：

D，复杂度分析

（a）时间复杂度：如果合并排序采用做法是申请一个新的数组存放两个合并的有序段，此时合并能在线性时间内完成，由上图树形结构可知共进行了logn（树的高度）次排序，因此该算法复杂度为O（nlogn）且与序列初始状态无关。

（b）空间复杂度：假如合并算法在线性时间内完成，则空间复杂度为O（n）；如果如同上述算法实现一样，合并排序使用直接插入排序，则此时空间复杂度为O（1）。