找新朋友（欧拉函数）

http://acm.hdu.edu.cn/game/entry/problem/show.php?chapterid=2§ionid=1&problemid=8

Problem Description

新年快到了，“猪头帮协会”准备搞一个聚会，已经知道现有会员N人，把会员从1到N编号，其中会长的号码是N号，凡是和会长是老朋友的，那么该会员的号码肯定和N有大于1的公约数，否则都是新朋友，现在会长想知道究竟有几个新朋友？请你编程序帮会长计算出来。

 

Input

第一行是测试数据的组数CN（Case number，1<CN<10000），接着有CN行正整数N（1<n<32768），表示会员人数。

 

Output

对于每一个N，输出一行新朋友的人数，这样共有CN行输出。

 

Sample Input

22560824027

 

Sample Output

768016016

 

Author

SmallBeer(CML)

 

Source

杭电ACM集训队训练赛（VII）

第一思路 就是找出 比N小的 所有与N 最大公约数为1（互质）的数，想法没错，结果Time Limit Exceeded

#include <iostream>using namespace std;int gcd(int a, int b){    if(b == 0)        return a;    else{        gcd(b, a % b);    }}int main(){    int caseNumber;    cin >> caseNumber;    while(caseNumber--){        int i,n;        int result = 0;        cin >> n;        for(i = 1; i < n;i++ ){            if(gcd(i,n)==1){                result++;            }        }        cout << result << endl;    }    return 0;

显然该题 涉及欧拉函数

欧拉函数定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。

　　　　         例如：φ(8)=4，因为1，3，5，7均和8互质。

性质：1.若p是质数，φ(p)= p-1.

　　　2.若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。因为除了p的倍数都与n互质

　　　3.欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).

根据这3条性质我们就可以推出一个整数的欧拉函数的公式。因为一个数总可以写成一些质数的乘积的形式。

　　E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))

　　　　= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)

　　　　= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)

在程序中利用欧拉函数如下性质，可以快速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;

　　若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);

#include<iostream>#include<cstdio>#include<cstring>using namespace std;int Eular(int x){    int ans=1;    for(int i=2;i*i<=x;i++){        if(x%i==0){            x/=i;            ans*=(i-1);            while(x%i==0){                x/=i;                ans*=i;            }        }    }    if(x>1)        ans*=(x-1);    return ans;}int main(){    //freopen("input.txt","r",stdin);    int t,n;    scanf("%d",&t);    while(t--){        scanf("%d",&n);        printf("%d\n",Eular(n));    }    return 0;}

本题用筛选法处理数据，用到哈希表。凡是能被n整除的数的所有倍数都是和n有公约数。

#include<stdio.h>#include<math.h>#include<string.h>int main(){    int a[32768];    int i,j,t,n,m;    scanf("%d",&t);    while(t--)    {        scanf("%d",&n);        memset(a,0,sizeof(a));        m=n/2;        for(i=2;i<=m;i++)      //筛选法求约数关系            if(n%i==0)                for(j=i;j<n;j+=i)                    a[j]=1;        int sum=0;        for(i=1;i<n;i++)            if(!a[i])                sum++;        printf("%d\n",sum);    }    return 0;}