陶哲轩实分析 2.2节 习题试解

最近从网上下载到了陶哲轩写的实分析，确实是本好书。不过所有的习题都没有给出答案。我试着自己做一遍习题，整理一份习题解答。

2.2.1 证明自然数加法是结合的 (a + b) + c = a + (b + c)

数学归纳法

a=0 时，

左边：

(0+b)+c=b+c

右边：

0+(b+c)=b+c

左边 = 右边

假设当 a=n 时，(n+b)+c=n+(b+c) 成立

则，当 a=n++ 时

((n++)+b)+c=((n+b)++)+c=((n+b)+c)++=(n+(b+c))++=(n++)+(b+c)

证毕

2.2.2 设 a 是一个正数，那么恰存在一个自然数 b，使得 (b++) = a

数学归纳法

a=1 时 b=0

假设 a=n 时， (b++)=a 成立

则当 a=n++ 时， b=n 满足 (b++)=a

证毕

2.2.3 自然数序的基本性质

(a) a≥a （序是自反的）

a+0=a

证毕

(b) a≥b 且 b≥c 则 a≥c （序是传递的）

a+m1=bb+m2=c

所以

(a+m1)+m2=ca+(m1+m2)=c

所以 a≥c

证毕

(c) 若 a≥b 且 b≥a 则 a=b （序是反对称的）

a+m1=bb+m2=aa+m1+m2=a

所以 m1+m2=0

所以 m1=0, m2=0

所以 a=b

(d) a≥b 当且仅当 a+c≥b+c （加法保序）

先证明 a≥b⟹a+c≥b+c

数学归纳法

c=0 时， a+0≥b+0 显然成立

假设 c=n 时， a+n≥b+n 成立

当 c=n++ 时

a+(n++)+m=((a+n)++)+m=((a+n)+m)++=(b+n)++=b+n++

所以

a+(n++)≥b+(n++)

证毕

再证明 a+c≥b+c⟹a≥b

a+c+m=b+ca+m=ba>b

(e) a<b 当且仅当 a++≤b

先证明 a<b⟹a++≤b

a<b 表明 a+m=b 且 a≠b, m≠0

由于 m≠0 所以

m=(n++)a+(n++)=b(a++)+n=b

所以 a≤b

再证明 a++≤b⟹a<b

(a++)+m=ba+(m++)=b

所以 a++≤b

因为 m++≠0 所以 a≠b

(f) a < b 当且仅当对某个正数 d，b = a + d

先证明 a<b⟹b=a+d

a<b 所以

a+d=bd≠0

所以 d 是正数

b=a+d

再证明 b=a+d⟹a<b

b=a+d⟹a≤b

由于 d≠0， 所以 b≠a， 所以 a<b

证毕

2.2.4 验证命题 2.2.13 的三个子命题

(1) 证明 0≤b 对于一切 b 成立

因为：0+b=b
所以 : 0≤b
证毕

(2) 若 a>b 证明 a++>b

若 a>b，则有 a=b+m，且 m≠0

a++=(b+m)++=b+m++a++>b

证毕

(3) 若 a=b 则 a++>b

因为：a=b
所以：(a++)=(b++)=b+1
所以：a++>b
证毕

2.2.5 证明命题 2.2.14

前提：若 P(m′) 对于一切 m0≤m′<m 成立，则 P(m) 也成立。
证明：P(m) 对于一切 m0≤m 都成立。

定义一个性质 Q(n) ，当命题 P(m) 对于一切 m0≤m<n 成立时为真，否则为假。

在 P(m′) 对于一切 m0≤m′<m 成立 这个前提成立的情况下 Q(m0) 为真，P(m0) 为真。
假设当 n=n′>m0 时， Q(n′) 成立，也就是说 P(m) 对于一切 m0≤m<n′ 成立。由前提，可知 P(n′) 也成立。

所以： P(m) 对于一切 m0≤m<n′+1 成立。也就是说 Q(n′+1) 成立。

所以 Q(n) 对于一切的 n>m0 成立。
所以 P(n−1) 对于一切的 n>m0 成立。
所以P(n) 对于一切的 n>m0 成立。

证毕

2.2.6 证明向后归纳原理

条件：若 P(m++) 成立，则 P(m) 成立。
命题：若 P(n) 成立，则对于一切 m≤n，P(m) 成立。

数学归纳法：

当 n = 1 时。若 P(1) 成立，由条件可知 P(0) 成立。
所以 P(1) 成立时对一切的m≤1 有，P(m) 成立，命题是成立的。

假设当 n=n′ 时，命题成立，即 P(n′)成立可推导出对一切的 m≤n′ 都有 P(m) 成立。

那么当 n=n′+1 时，P(n′+1) 成立，由条件可得 P(n′) 成立。由上面假设，对一切的 m≤n′ 都有 P(m)成立，再加上P(n′+1) 成立，就有对一切的 m≤n'+1 都有 P(m)成立。

所以对于一切的 n，命题都成立。