陶哲轩实分析 6.4 节习题试解
来源:互联网 发布:雷米盖拉德知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/05/22 00:37
陶哲轩实分析 6.4 节习题试解
6.4.1 设 (an)∞n→m 是收敛到实数 c 的序列。那么 c 是 (an)∞n→m 的极限点。并且是仅有的极限点。
- 先证明
c 是(an)∞n→m 的极限点。
因为
- 再证明
c 是唯一的极限点。
假设
由于
这与
6.4.2 设 (an)∞n=m 是一个实数列,c 是实数,并且 m′>m 是整数。证明: (1) c 是 (an)∞n=m 的极限点,当且仅当 c 是 (an)∞n=m′ 的极限点。 (2) c 是 (an)∞n=m 的上极限,当且仅当 c 是 (an)∞n=m′ 的上极限。
(1)如果
所以
(2)
6.4.3 证明引理 6.4.12
(c)
所以:
(d)如果
反证法:如果
那么有极限点的定义可知,对于无论多大的
可是由 (a) 可知,存在一个
产生矛盾,所以
同样方法,可以证明
所以
(e)如果
由 (a)(b) 可知:对任意的
(f)设
反证法:假设
那么存在一个
而 (b) 却表明我们可以找到一个
同样方法,可以证明
如果
6.4.4 证明引理 6.4.13
对一起
(a)证明
反证法:设
假设
那么存在至少一个
所以
这与
(b)
与 (a) 类似的方法可以证明。
(c)
因为
所以
(d)
因为
所以
6.4.5 证明 6.4.14
设
若
由上一题结论可知
因为
因为
所以
6.4.6
则:
6.4.7 设 (an)∞n=m 是实数列。那么极限 limn→∞an 存在并等于零当且仅当极限 limn→∞|an| 存在并等于零。
先证
因为
再证
因为
所以
6.4.8
当
当
6.4.9
6.4.10
对任意的
又因为
所以
所以
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