陶哲轩实分析 4.3 节习题试解

陶哲轩实分析 4.3 节习题试解

4.3.1 证明命题 4.3.3

（a） 证明 |x|≥0，当 |x|=0 时， x=0。

分情况讨论

（1）x=0， |x|=0 ，所以 |x|≥0
（2）x>0， |x|=x>0，所以 |x|≥0
（3）x<0， |x|=−x>0，所以 |x|≥0

所以无论 x 为任意实数，都有 |x|≥0

由上面的讨论可知，只有 x=0时 |x|=0。所以当 |x|=0 时， x=0。

（b） |x+y|≤|x|+|y|

分情况讨论。共 10 种情况。

（1） x=0， |x+y|=|y|≤|x|+|y|

（2） y=0， |x+y|=|x|≤|x|+|y|

（3） x>0,y>0， |x+y|=x+y=|x|+|y|

（4） x<0,y<0， |x+y|=(−x)+(−y)=|x|+|y|

（5） x>0,y<0,x>(−y)。这时 |x+y|=x+y=x−(−y)=|x|−|y|<|x|<|x|+|y|

（6） x>0,y<0,x=(−y)。 这时 |x+y|=0<|x|+|y|

（7） x>0,y<0,x<(−y)。这时 |x+y|=−(x+y)=(−x)+(−y)=|y|−|x|<|y|<|x|+|y|

（8） x<0,y>0,y>(−x)。这时 |x+y|=x+y=(−x)+y=|y|−|x|<|y|<|x|+|y|

（9） x<0,y>0,−x=y。 这时 |x+y|=0<|x|+|y|

（10） x<0,y>0,y<(−x)。这时 |x+y|=−(x+y)=(−x)+(−y)=|x|−|y|<|x|<|x|+|y|

综合上述 10 种情况，都有 |x+y|≤|x|+|y|

（c） −y≤x≤y 成立，当且仅当 y≥|x|

先证明 (−y≤x≤y)⇒(y≥|x|)
因为 −y≤y 所以 y≥0

分 2 种情况讨论：

（1）−y≤x≤y 并且 x≥0 这时因为 0≤x≤y，所以 |x|≤y
（2）−y≤x≤y 并且 x<0 这时因为 −y≤x，y≥−x>0，所以 |x|≤y

所以 (−y≤x≤y)⇒(y≥|x|)

再证明 (y≥|x|)⇒(−y≤x≤y)
y≥|x| 表明 (y≥x) 并且 (y≥−x)
因为 (y≥−x) 所以 x≥−y
所以 −y≤x≤y

（d） |xy|=|x||y|

分情况讨论。

（1） x=0 或 y=0 这时有 |xy|=0=|x||y|
（2） x>0,y<0 这时有 |xy|=−xy=|x|(−y)=|x||y|
（3） x<0,y>0 这时有 |xy|=−xy=−x|y|=|x||y|
（4） x>0,y>0 这时有 |xy|=xy=|x||y|
（5） x<0,y<0 这时有 |xy|=xy=(−x)(−y)=|x||y|

（e）d(x,y)≥0，d(x,y)=0 当且仅当 x=y

d(x,y)=|x−y|≥0

d(x,y)=0⇔|x−y|=0⇔x−y=0⇔x=y

（f） 证明 d(x,y)=d(y,x)。

d(x,y)=|x−y|=|−(x−y)|=|y−x|=d(y,x)

（g）证明 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)

d(x,z)=|x−z|=|x−y+y−z|≤|x−y|+|y−z|=d(x,y)+d(y,z)

4.3.2 证明命题 4.3.7 剩下的结论

（a） 如果 x=y 那么对于每个 ε>0， x 都是 ε - 接近 y 的。反之，对于每个 ε>0， x 都是 ε - 接近 y 的，那么 x=y。

x=y 则 |x−y|=0<ε
所以如果 x=y 那么对于每个 ε>0， x 都是 ε - 接近 y 的。

反证法证明反向命题。
假设存在一对 x 和 y 满足 x≠y 但是对于每个 ε>0， x 都是 ε - 接近 y 的。
因为 x≠y 所以 x−y≠0 所以 d(x,y)=|x−y|≠0
设 ε=|x−y|2>0
那么有 d(x,y)=|x−y|=2ε>ε 说明 x 不是 ε - 接近 y 的。与原假设矛盾。
所以 对于每个 ε>0， x 都是 ε - 接近 y 的，那么 x=y。

（b）设 ε>0 如果 x 是 ε- 接近 y， 那么 y 也是 ε - 接近 x。

因为 x 是 ε - 接近 y。
所以 d(x,y)≤ε 。
所以 d(y,x)=d(x,y)≤ε
所以 y 是 ε- 接近 x。

（c） ε,δ>0， 如果 如果 x 是 ε- 接近 y 的， y 是 δ - 接近 z 的。那么 x 是 (ε+δ)- 接近 z 的。

因为 x 是 ε- 接近 y 的， y 是 δ - 接近 z 的。
所以 d(x,y)≤ε,d(y,z)≤δ
因为 d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)≤ε+δ
所以 x 是 (ε+δ)- 接近 z 的。

（d）ε,δ>0， 如果 x 和 y 是 ε- 接近的， z 和 w 是 δ - 接近的。那么 x+z 是 (ε+δ)- 接近 y+w 的。而且 x−z 是 (ε+δ)- 接近 y−w 的。

因为 x 和 y 是 ε- 接近的， z 和 w 是 δ - 接近的。
所以 d(x,y)≤ε,d(w,z)≤δ
因为 d(x+z,y+w)=|(x+z)−(y+w)|≤|x+y|+|z+w|≤ε+δ
所以 x+z 是 (ε+δ)- 接近 y+w 的。
因为 d(x−z,y−w)=|(x−z)−(y−w)|≤|x−y|+|w−z|≤ε+δ
所以 x−z 是 (ε+δ)- 接近 y−w 的。

（e）ε>0， 如果 x 和 y 是 ε- 接近的，那么对于每个 ε′>ε， x 和 y 也是 ε′- 接近。

因为 x 和 y 是 ε- 接近的。
所以 d(x,y)≤ε
因为 ε′>ε
所以 d(x,y)≤ε<ε′
所以 x 和 y 也是 ε′- 接近。

（f）ε>0， 如果 x 和 y 是 ε- 接近的，x 和 z 也是 ε- 接近的，并且 w 介于 y 和 z 之间。那么 x 和 w 是 ε- 接近的。

因为 x 和 y 是 ε- 接近的，x 和 z 也是 ε- 接近的。
所以有 d(y,x)≤ε,d(z,x)≤ε

对 w 分类讨论：

(1) y≤w≤z
所以 y−x≤w−x≤z−x
如果 w−x≥0，那么有 |w−x|≤|z−x|≤ε
如果 w−x<0，那么有 |w−x|=x−w≤x−y≤|x−y|≤ε
所以 |w−x|≤ε

(2) z≤w≤y
所以 y−x≥w−x≥z−x
如果 w−x≥0，那么有 |w−x|≤|y−x|≤ε
如果 w−x<0，那么有 |w−x|=x−w≤x−z≤|x−z|≤ε
所以 |w−x|≤ε

综上，恒有 |w−x|≤ε
所以 x 和 w 是 ε- 接近的。

（g）ε>0， 如果 x 和 y 是 ε- 接近的，并且 z≠0，那么 xz 是 |z|ε 接近 yz 的。

因为 x 和 y 是 ε- 接近的。
所以 d(y,x)=|x−y|≤ε。
因为 d(xz,yz)=|xz−yz|=|x−y||z|≤|z|ε
所以 xz 是 |z|ε- 接近 yz 的。

4.3.3 设 x 和 y 是比例数，n 和 m 是自然数。

（a1）证明 xnxm=xm+n

对 m 用数学归纳法。
m=0 时，xnx0=xn
假设对 m 成立。
那么对 m++， 有 xnxm++=xnxmx=xm+nx=xn+(m++)
所以 xnxm=xm+n

（a2）证明 (xn)m=xnm

m=0 时， (xn)0=1=x0
假设对 m 成立。
那么 对 m++，有 (xn)m++=(xn)m(xn)=xmn(xn)=xmn+n=xn(m++)
所以 (xn)m=xnm

（a3）证明 (xy)n=xnyn

0=0 时， (xy)0=1=x0y0
假设对 n 成立。
那么 对 n++，有 (xy)n+1=(xy)n(xy)=xnynxy=xn++yn++
所以 (xy)n=xnyn

（b）xn=0 当且仅当 x=0

先证明 (xn=0)⇒(x=0)。
数学归纳法:
当 n=1 时，显然 (x1=x=0)⇒(x=0)
假设对于 n 成立，也就是 (xn=0)⇒(x=0)
那么对于 n++，有

xn++=0⇒xnx=0⇒(xn=0) or (x=0)⇒(x=0)

所以 (xn=0)⇒(x=0) 对任意 n>0,n∈N 成立。

再证明 (x=0)⇒(xn=0)。
数学归纳法：
设 x=0，n=1 时，显然 x1=0。
假设对于 n 成立，也就是 xn=0
那么对于 n++，有 xn++=xn×n=0
所以 (x=0)⇒(xn=0) 对任意 n>0,n∈N 成立。

所以 xn=0 当且仅当 x=0。

（c1）如果 x≥y≥0 那么 xn≥yn≥0。

数学归纳法：
已知 x≥y≥0 当 n=1 时，显然有 x1≥y1≥0。
假设对于 n 成立，也就是 xn≥yn≥0
那么对于 n++，有

xn++−yn++=≥=≥xnx−ynyxny−yny(xn−yn)y0

所以 xn++≥yn++
yn++=yn×y≥0
所以 xn++≥yn++≥0

（c2）如果 x>y≥0 那么 xn>yn≥0。

数学归纳法：
已知 x>y≥0 当 n=1 时，显然有 x1>y1≥0。
假设对于 n 成立，也就是 xn>yn≥0
那么对于 n++，有

xn++−yn++=>=≥xnx−ynyxny−yny(xn−yn)y0

所以 xn++>yn++
yn++=yn×y≥0
所以 xn++>yn++≥0

（d） |xn|=|x|n

数学归纳法：
当 n=1 时，显然有 |x1|=|x|1=|x|。
假设对于 n 成立，也就是 |xn|=|x|n
那么对于 n++，有 |xn++|=|xnx|=|xn||x|=|x|n|x|=|x|n++
所以 |xn|=|x|n

4.3.4 设 x 和 y 是比例数，n 和 m 是整数。

（a1）证明 xnxm=xm+n

先证明一个引理：当 n 和 m 是自然数并且 m≥n 时， xm/xn=xm−n。
设 q=m−n≥0

xmxn=xnxqxn=xq=xm−n

证明另一个引理：当 n 是自然数时有：

(1x)n=1xn

数学归纳法：
n=0 时

(1x)0=1=1x0

假设对于 n 成立。
那么对于 n++ 有：

(1x)n++=(1x)n1x=1xn1x=1xn++

所以对任意的自然数 n 上述引理成立。

下面开始证明这道题，对 n,m 分情况讨论：
(1) n≥0,m≥0
由上题结论

xnxm=xm+n

(2) n<0,m≥0 并且 m≥−n
设 q=−n≥0

xnxm=xmxq=xm−q=xm+n

(3) n<0,m≥0 并且 −n≥m
设 q=−n≥m

xnxm=1xq/xm=1xq−m=1x−(m+n)=xm+n

(4)m<0,n≥0

xnxm=xmxn=xn+m=xm+n

(5) n<0,m<0

xnxm=1x(−n)1x(−m)=1x−(m+n)=xm+n

（a2）证明 (xn)m=xnm

对 m,n 分情况讨论：
(1) n≥0,m≥0
由上题结论，此时有

(xn)m=xnm

(2)n≥0,m<0
设 q=−m≥0

(xn)m=1(xn)q=1xnq=x−nq=xnm

(3)m≥0,n<0
设 q=−n≥0

(xn)m=(1xq)m=1xqm=xnm

(4)m<0,n<0
设 q=−m≥0

(xn)m=1(xn)q=1xnq=1x−nm=xnm

（a3）证明 (xy)n=xnyn

当 n≥0 时，上题已经证明了 (xy)n=xnyn。
当 n<0 时，

(xy)n=1(xy)−n=1(x)−n1(y)−n=xnyn

（b1） 如果 x>y≥0 那么当 n 是正数时 xn>yn≥0。

上道习题已经证明这个结论。

（b2） 如果 x>y≥0 那么当 n 是负数时 0≤xn<yn。

当 n 是负数时 −n 是正数。

x−n>y−n≥0 ⇒1xn>1yn≥0⇒yn>xn≥0

（c）如果 x,y>0,n≠0 并且 xn=yn 那么 x=y。

当 n 是正数时，上题已经证明这个结论。
当 n 是负数时 −n 是正数。

xn=yn ⇒1x−n=1y−n⇒y−n=x−n⇒x=y

（d） |xn|=|x|n

分类讨论：
(1) n≥0 由上题结论 |xn|=|x|n
(2) n<0

|xn|====∣∣∣1x−n∣∣∣1|x−n|1|x|−n|x|n

4.3.5 证明对任何正整数 N ，都有2N>N

用数学归纳法，当 n = 1 时。 21=2>1
假设当 n=N 时 2N>N 成立。

那么当 n=N++ 时， 2N++=2N×2>2N≥N++
所以对任意的正整数 N ，都有2N>N