陶哲轩实分析 3.1节 习题试解

3.1.1 证明集合相等的定义是自反、对称和传递的。

（1） 先证明自反性 A=A

∀x∈A,x∈A 所以 A=A

（2）对称性 若A=B 则 B=A

因为A=B ，所以

∀x∈A,x∈B∀x∈B,x∈A

所以 B=A

（3）传递性 A=B,B=C 则 A=C

因为A=B ，所以

∀x∈A,x∈B

因为B=C ，所以

∀x∈B,x∈C

所以

∀x∈A,x∈C

同理

∀x∈C,x∈A

所以 A=C

3.1.2 仅使用定义3.1.4 、定理 3.2、定理3.3 证明 ∅,{∅},{{∅}} 以及 {∅,{∅}} 全是不同的

(1) 先证明∅ 与其他几个集合不同

∅∈{∅} 但是 ∅∉∅ 所以 ∅≠{∅}

{∅}∈{{∅}} 但是 {∅}∉∅ 所以 ∅≠{{∅}}

{∅}∈{∅,{∅}} 但是 {∅}∉∅ 所以 ∅≠{∅,{∅}}

(2) 证明 {∅} 与 {{∅}} 以及 {∅,{∅}} 不同

{∅}∈{{∅}} 但是 {∅}∉{∅} 所以 {∅}≠{{∅}}

{∅}∈{∅,{∅}} 但是 {∅}∉{∅} 所以 {∅}≠{∅,{∅}}

(3) 证明{{∅}}≠{∅,{∅}}

∅∈{∅,{∅}} 但是 ∅∉{{∅}} 所以 {{∅}}≠{∅,{∅}}

3.1.3 证明引理 3.1.13 中未证明的结论

（1） 证明集合的并集运算是交换的 A∪B=B∪A

∀x∈A∪B 都有 x∈A 或 x∈B，所以 x∈B∪A

∀x∈B∪A 都有 x∈B 或 x∈A，所以 x∈A∪B

所以 A∪B=B∪A

（2） 证明 A∪A=A∪∅=∅∪A=A

∀x∈A∪A 都有 x∈A

∀x∈A 都有 x∈A 因此 x∈A∪A

所以：

A∪A=A

∀x∈A∪∅ 都有 x∈A 或 x∈∅，有因为不存在任何对象 x 满足 x∈∅，所以 x∈A

∀x∈A 都有 x∈A，所以 x∈A∪∅

所以 A∪∅=A

同理 ∅∪A=A

3.1.4 证明命题 3.1.18

(1) 如果 A⊆B 同时 B⊆A 则 A=B

A⊆B 表明 ∀x∈A⟹x∈B

B⊆A 表明 ∀x∈B⟹x∈A

所以 A=B

(2) 证明 A⊂B 同时 B⊂C 则 A⊂C

A⊂B 表明 ∀x∈A⟹x∈B

B⊂C 表明 ∀x∈B⟹x∈C

所以 ∀x∈A⟹x∈C，也就是 A⊆C

A⊂B 还表明至少存在一个y 满足 y∈B,y∉A

因为 B⊂C，所以 y∈C

所以 y∈C 同时 y∉A

所以 A≠C

因为 A⊆C 同时 A≠C

所以 A⊂C

3.1.5 A 、B 是集合，证明三个命题 A⊆B、A∪B=B、A∩B=A 是等价的

（1）证明 A⊆B⟹A∪B=B

首先 B⊆A∪B，因此只需证明 A⊆B⟹A∪B⊆B

A⊆B

⟹∀x∈A,x∈B

同时 ∀x∈B,x∈B

所以 ∀x∈A or x∈B,x∈B

⟹A∪B⊆B

（2）证明 A∪B=B⟹A⊆B

A∪B=B

⟹∀x∈A 都有 x∈B

⟹A⊆B

至此，证明了 A⊆B 与 A∪B=B 等价。

（3）证明 A⊆B⟹A∩B=A

A⊆B

⟹∀x∈A,x∈B

⟹∀x∈A,x∈B and x∈A

⟹∀x∈A,x∈A∩B

⟹A⊆A∩B

另外，显然 A∩B⊆A

所以 A⊆B⟹A∩B=A

（4）证明 A∩B=A⟹A⊆B

A∩B=A

⟹∀x∈A 都有 x∈B

⟹A⊆B

至此，证明了 A⊆B 与 A∩B=A 等价。

因为 A∩B=A 和 A∪B=B 都与 A⊆B 等价。

所以A∩B=A 和 A∪B=B 等价。

3.1.6 证明命题 3.1.28

(a) 证明 A∪∅=A 和 A∩∅=∅

由并集定义有 A⊆A∪∅

∀x∉A 都有 x∉A 和 x∉∅

所以 ∀x∉A,x∉A∪∅

所以 A∪∅⊆A

所以 A∪∅=A

由交集定义有 ∅⊆A∩∅

∀x∉∅,x∉A∩∅

所以 A∩∅⊆∅

所以 A∩∅=∅

(b) 证明 A∪X=X 和 A∩X=A

显然 X⊆A∪X，A∩X⊆A

只需证明 A∪X⊆X 和 A⊆A∩X

因为 A⊆X

⟹∀x∈A,x∈X

⟹∀x∈A∪X,x∈X

⟹A∪X⊆X

因为 A⊆A 同时 A⊆X

所以 A⊆A∩X

(c) 证明 A∪A=A 和 A∩A=A

显然 A⊆A∪A

∀x∈A∪A,x∈A 所以 A∪A⊆A

所以 A∪A=A

显然 A∩A⊆A

∀x∈A,x∈A∩A 所以 A⊆A∪A

所以 A∩A=A

(d) 证明 A∩B=B∩A 和 A∪B=B∪A

习题 3.1.3 已经证明 A∪B=B∪A

这里只证明 A∩B=B∩A

∀x∈A∩B,x∈A,x∈B 所以 x∈B∩A

所以 (A∩B)⊆(B∩A)

∀x∈B∩A,x∈A,x∈B 所以 x∈A∩B

所以 (B∩A)⊆(A∩B)

所以 A∩B=B∩A

(e) 证明 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 和 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

书中已经证明了 (A∪B)∪C=A∪(B∪C) 这里只证明 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

∀x∈(A∩B)∩C 要同时满足 x∈(A∩B) 和 x∈C

也就是要同时满足 x∈A、x∈B 和 x∈C

也就是要同时满足 x∈A 和 x∈B∩C

也就是要满足 x∈A∩(B∩C)

所以 (A∩B)∩C⊆A∩(B∩C)

类似的，也可证明 A∩(B∩C)⊆(A∩B)∩C

所以 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)

(f) 证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) 和 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

先证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

∀x∈A∩(B∪C) 要满足 x∈A 和 x∈B∪C

x∈A 同时 x∈B 和 x∈C 要至少满足一个。分成两种情况。

（1）x∈A 同时 x∈B⟹x∈A∩B⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)

（2）x∈A 同时 x∉B 但是 x∈C⟹x∈A∩C⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)

所以 ∀x∈A∩(B∪C)⟹x∈(A∩B)∪(A∩C)

所以 A∩(B∪C)⊆(A∩B)∪(A∩C)

∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈(A∩B) 或 x∈(A∩C)

当 x∈(A∩B) 时，x∈A∩(B∪C)

当 x∈(A∩C) 时，x∈A∩(B∪C)

所以 ∀x∈(A∩B)∪(A∩C)⟹x∈A∩(B∪C)

所以 (A∩B)∪(A∩C)⊆A∩(B∪C)

所以 (A∩B)∪(A∩C)=A∩(B∪C)

类似方法可以证明 A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

(g) 证明 A∪(X∖A)=X 和 A∩(X∖A)=∅

先证明 A∪(X∖A)=X

∀x∈A∪(X∖A)⟹x∈A 或者 x∈X∖A⟹x∈X

所以 A∪(X∖A)⊆X

∀x∈X⟹x∈A 或者 x∈X∖A⟹x∈A∪(X∖A)

所以 X⊆A∪(X∖A)

所以 A∪(X∖A)=X

再证明 A∩(X∖A)=∅

反证法，假设 A∩(X∖A)≠∅ 则至少存在一个 x 满足 x∈A∩(X∖A)

对 x 分类讨论

（1） x∈A⟹x∉(X∖A)⟹x∉A∩(X∖A) 推出矛盾。

（2）x∈(X∖A)⟹x∉A⟹x∉A∩(X∖A) 推出矛盾。

所以 A∩(X∖A)=∅

(h) 证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B) 和 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)

先证明 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)

∀x∈X∖(A∪B)

⟹x∉(A∪B)

⟹x∉A 同时 x∉B

⟹x∈X∖A 同时 x∈X∖B

⟹x∈(X∖A)∩(X∖B)

所以 X∖(A∪B)⊆(X∖A)∩(X∖B)

类似可证 (X∖A)∩(X∖B)⊆X∖(A∪B)

所以 X∖(A∪B)=(X∖A)∩(X∖B)

证明 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)

∀x∈X∖(A∩B)

⟹x∉A∩B

⟹x∉A 或者 x∉B

⟹x∈X∖A 或者 x∈X∖B

⟹x∈(X∖A)∪(X∖A)

所以 X∖(A∩B)⊆(X∖A)∪(X∖B)

类似的 (X∖A)∪(X∖B)⊆X∖(A∩B)

所以 X∖(A∩B)=(X∖A)∪(X∖B)

3.1.7 证明方法类似，这里省略了

3.1.8 证明 A∩(A∪B)=A 和 A∪(A∩B)=A

先证明 A∩(A∪B)=A

显然 A∩(A∪B)⊆A

因此只需证明A⊆A∩(A∪B)

∀x∈A

⟹x∈A∪B

⟹x∈A∩(A∪B)

⟹A⊆A∩(A∪B)

所以 A∩(A∪B)=A

再证明 A∪(A∩B)=A

显然 A⊆A∪(A∩B)

只需证明 A∪(A∩B)⊆A

∀x∈A∪(A∩B)

⟹x∈A 或者 x∈(A∩B)

其中 x∈(A∩B)⟹x∈A

所以 ∀x∈A∪(A∩B)⟹x∈A

所以 A∪(A∩B)⊆A

所以 A∪(A∩B)=A

3.1.9 A∪B=X,A∩B=∅ 证明 A=X∖B,B=X∖A

因为 A∩B=∅

所以 ∀x∈A,x∉B

所以 A⊆X∖B

∀x∈X∖B

⟹x∈X,x∉B

⟹x∈A∪B,x∉B

⟹x∈A

⟹X∖B⊆A

所以 X∖B=A

类似可证 B=X∖A

3.1.10 证明 A∖B、A∩B、B∖A 是不交的。他们的并是 A∪B

这里只证明他们的并是 A∪B

A∪B=(A∖B)∪B=(A∖B)∪(B∖A)∪(A∩B)

3.1.11 证明替换公理蕴涵分类公理

设分类公理中的命题为 P0(x)

那么可以构造替换公理中的命题 P(x,y) 为 当 P0(x) 为真且 y=x 时P(x,y) 为真。则这时替换公理获得的集合与分类公理获得的集合相同。