陶哲轩实分析 5.2 节习题试解

5.2.1

设 (an)∞n=0 是个 Cauchy 序列，(bn)∞n=0 是与 (an)∞n=0 等价的序列，证明 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

证明：

因为 (an)∞n=0 是个 Cauchy 序列。所以对于任意的 ε>0，都存在一个 N≥0， 当i,j≥N 时，满足 |ai−aj|<ε/3。

因为 (bn)∞n=0 是与 (an)∞n=0 等价的序列。所以对于任意的 ε>0，都存在一个 N′≥0 ，当 n≥N′ 时满足 |an−bn|<ε/3。

对于任意的 ε>0，设 M=max(N,N′)。则，当i,j≥N′ 时，有：

|bi−bj|≤≤≤=|bi−ai+aj−bj+ai−aj||bi−ai|+|aj−bj|+|ai−aj|ε/3+ε/3+ε/3ε

所以 (bn)∞n=0 也是 Cauchy 序列。

5.2.2

设 (an)∞n=0 是个有界序列，(bn)∞n=0 是与 (an)∞n=0 终极 ε- 接近的，证明 (bn)∞n=0 也是有界序列。

证明：
(an)∞n=0 是个有界序列。那么存在一个 M≥0，对任意的 i≥0，满足 |ai|<M。
因为 (bn)∞n=0 是与 (an)∞n=0 终极 ε- 接近的。
所以存在一个 N≥0，当 n≥N 时，有 |an−bn|<ε。
所以当 n≥N 时，有 |bn|≤|an|+ε≤M+ε

(bn)N−1n=0 是个有限长度序列，必然是有界的，也就是说存在一个 M′，满足：
当 n<N 时，|bn|≤M′。

取 M′′=max(M,M′)。则对任意的 bn 都有 |bn|≤M′′。
所以 (bn)∞n=0 是个有界序列。