陶哲轩实分析 3.3 节习题试解

来源:互联网 发布:淘宝免费推广的方法 编辑:程序博客网 时间:2024/05/01 16:23

陶哲轩实分析 习题解答

习题 3.3

3.3.1

(1) 证明自反性

xX,f(x)=f(x)
所以 f=f

(2) 证明对称性
如果 f=g
那么 xX,f(x)=g(x)
所以 xX,g(x)=f(x)
所以 g=f

(3) 传递性
如果 f=g,g=h
那么有
xX,f(x)=g(x) xX,g(x)=h(x)
所以xX,f(x)=h(x)
所以 f=h

3.3.2

(1) 证明,当 fg 都是单射时,gf 也是单射。
反证法: 设存在不相同的 x1x2,满足 (gf)x1=(gf)x2
已知 f 是单射,所以 f(x1)f(x2)
y1=f(x1)y2=f(x2)y1y2
那么 g(y1)=g(y2) 这与g 是单射矛盾。
所以gf 也是单射。

(2) fg 是满射时,gf 也是满射。
因为 g 是满射,所以对任意的 zZ, 存在 yY 使得 g(y)=z
因为 f 是满射,所以存在 xX 满足 f(x)=y
所以对于任意的 zZ 都存在 xX 满足 (gf)(x)=z
所以gf 是满射

3.3.3

空函数是 f:X
X 是任意集合时,空函数都是单射。因为没有 x1, x2, x1x2 满足f(x1)=f(x2)

X= 时,空函数是满射,也是双射。

3.3.4

(1) g 是单射,gf=gf~, 则 f=f~
反证法,若 ff~, 则存在 x 使得 f(x)f~(x)
y=f(x), y~=f~(x)
由于 g 是单射,所以 g(y)g(y~)
所以 (gf)(x)=(gf~)(x) 矛盾.
所以 f=f~

(2) f 是满射, gf=g~f. 则 g=g~
反证法: 若gg~ 则存在 y 满足 g(y)g~(y)
因为 f 是满射,所以存在 xX 满足 f(x)=y
那么 (gf)(x)(g~f)(x) 矛盾.
所以 g=g~

3.3.5

(1) gf 是单射,则 f 是单射.
反证法: 若 f 不是单射,则存在不相同的 x1x2,满足 f(x1)=f(x2)=y
z=g(y)(gf)(x1)=(gf)(x2), 与 gf 是单射矛盾.

(2)gf 是满射,则 g 是满射.
反证法: 若 g 不是满射, 则存在 z0 没有任何 yY 满足 g(y)=z0
而我们又知道gf 是满射,则存在 xX , 满足 (gf)(x)=z0
y0=f(x) 那么就有 g(y0)=z0 矛盾.
所以 g 是满射

3.3.6

(1) 由于 f 是双射, 对任意的 xX, 都有唯一的yY 满足f(x)=y
f1 的定义可知: f1(y)=x
所以: (f1f)(x)=f1(y)=x 对一切 xX 成立.

(2) 由于 f 是双射, 对任意的 yY 都有唯一的 xX 满足 f1(y)=x
又有 f(x)=y. 所以 (ff1)(y)=y 对任意 yY都成立.
所以 f1是可逆的,且逆为 f

3.3.7

先证明 gf 是单射. (略)
再证明 gf 是满射. (反证法, 略)

3.3.8

(a) 对一切 xXτXY(x)=x
对一切 xXYτYZ(x)=x
所以有 一切 xX, (τYZτXY)(x)=x=τXZ(x)
表明: τYZτXY=τXZ

(b) 对一切 xAfτAA(x)=f(x)
所以 f=fτAA

对一切 xAτBBf(x)=τBB(f(x))=f(x)
所以 τBBf=f

所以f=fτAA=τBBf

(c) (易证,略)

(d) 反证法: 假设存在两个不同的函数 h1h2 满足 hiτXXY=fhiτYXY=g

那么必然存在一个 aXY 使得h1(a)h2(a)
分两种情况讨论:
aX 时:
h1τXXY(a)=h1(a)
h2τXXY(a)=h2(a)
所以:
h1τXXY(a)h2τXXY(a) 矛盾.

aY 时:
h1τYXY(a)=h1(a)
h2τYXY(a)=h2(a)
h1τYXY(a)h2τYXY(a) 矛盾

所以 只有唯一的函数 h

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