01背包问题

来源：互联网发布：c语言深度剖析 pdf 编辑：程序博客网时间：2024/04/29 14:20

<span style="font-family: 'Microsoft Yahei'; line-height: 2em; background-color: rgb(255, 255, 255);">Knapsack - 背包问题</span>

在一次抢珠宝店的过程中，抢劫犯只能抢走以下三种珠宝，其重量和价值如下表所述。

Item(jewellery)WeightValue162323133411

抢劫犯这次过来光顾珠宝店只带了一个最多只能承重17 kg的粉红色小包，于是问题来了，怎样搭配这些不同重量不同价值的珠宝才能不虚此行呢？哎，这年头抢劫也不容易啊...

用数学语言来描述这个问题就是：背包最多只能承重 $W$ kg, 有 $n$ 种珠宝可供选择，这 $n$ 种珠宝的重量分别为 $\omega_1,\cdots,\omega_n$ , 相应的价值为 $v_1,\cdots,v_n$ . 问如何选择这些珠宝使得放进包里的珠宝价值最大化？

若一件珠宝最多只能带走一件，请问现在抢劫犯该如何做才能使得背包中的珠宝价值总价最大？

显然，无界背包中的状态及状态方程已经不适用于01背包问题，那么我们来比较这两个问题的不同之处，无界背包问题中同一物品可以使用多次，而01背包问题中一个背包仅可使用一次，区别就在这里。我们用 $K(i,\omega)$ 来表示前 $i$ 件物品放入一个容量为 $\omega$ 的背包可以获得的最大价值。

现在从以上状态定义出发寻找相应的状态转移方程。 $\omega)$ 为 $\omega)$ 的子问题，如果不放第 $i$ 件物品，那么问题即转化为「前 $i - 1$ 件物品放入容量为 $\omega$ 的背包」，此时背包内获得的总价值为 $\omega)$ ；如果放入第 $i$ 件物品，那么问题即转化为「前 $i - 1$ 件物品放入容量为 $\omega - \omega_i$ 的背包」，此时背包内获得的总价值为 $\omega - \omega_i) + v_i$ . 新的状态转移方程用数学语言来表述即为： $K(i,\omega) = \max \{K(i-1, \omega), K(i-1, \omega - \omega_i) + v_i\}$

这里的分析是以容量递推的，但是在容量特别大时，我们可能需要以价值作为转移方程。定义状态dp[i + 1][j]为前i个物品中挑选出价值总和为j 时总重量的最小值（所以对于不满足条件的索引应该用充分大的值而不是最大值替代，防止溢出）。相应的转移方程为：前i - 1 个物品价值为j, 要么为j - v[i](选中第i个物品). 即dp[i + 1][j] = min{dp[i][j], dp[i][j - v[i]] + w[i]}. 最终返回结果为dp[n][j] ≤ W中最大的 j.

public class Knapsack {    public static void main(String[] args) {        int N = Integer.parseInt(args[0]);   // number of items        int W = Integer.parseInt(args[1]);   // maximum weight of knapsack        int[] profit = new int[N+1];        int[] weight = new int[N+1];        // generate random instance, items 1..N        for (int n = 1; n <= N; n++) {            profit[n] = (int) (Math.random() * 1000);            weight[n] = (int) (Math.random() * W);        }        // opt[n][w] = max profit of packing items 1..n with weight limit w        // sol[n][w] = does opt solution to pack items 1..n with weight limit w include item n?        int[][] opt = new int[N+1][W+1];        boolean[][] sol = new boolean[N+1][W+1];        for (int n = 1; n <= N; n++) {            for (int w = 1; w <= W; w++) {                // don't take item n                int option1 = opt[n-1][w];                // take item n                int option2 = Integer.MIN_VALUE;                if (weight[n] <= w) option2 = profit[n] + opt[n-1][w-weight[n]];                // select better of two options                opt[n][w] = Math.max(option1, option2);                sol[n][w] = (option2 > option1);            }        }        // determine which items to take        boolean[] take = new boolean[N+1];        for (int n = N, w = W; n > 0; n--) {            if (sol[n][w]) { take[n] = true;  w = w - weight[n]; }            else           { take[n] = false;                    }        }        // print results        System.out.println("item" + "\t" + "profit" + "\t" + "weight" + "\t" + "take");        for (int n = 1; n <= N; n++) {            System.out.println(n + "\t" + profit[n] + "\t" + weight[n] + "\t" + take[n]);        }    }}

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