数据结构与算法——无权最短路径算法的C++实现

来源：互联网发布：怎么自学java 编辑：程序博客网时间：2024/04/30 04:59

对于一个有权图，任意路径中各个边的权重的和，就是加权路径长。

对于一个无权图，任意路径中边的数目，就是无权路径长。

对于上面的无权图G，我们使用某个顶点s作为输入参数，我们想要找出从s到所有其它顶点的最短路径。我们只对路径上边的数目感兴趣，不考虑路径上边的权重（对于无权图可以将权重看为是1）。

算法1详细步骤：

1、选择顶点s为v3。马上可以知道s到v3的最短路径长为0的路径（v3->v3）

2、寻找从s出发路径长为1的顶点，这些点都是s的邻接点.

3、寻找从s出发路径长为2的顶点。找到v1和v6的邻接点（距离v1和v6为1），那么这些点距离s为2。

4、寻找从s出发路径长为3的顶点。这也是最后的路径长度。

这种搜索图的方法称为广度优先搜索。该方法按层处理顶点：距离开始点最近的那些顶点首先被求值，而最远的那些顶点最后被求值。这很像对树的层序遍历。

对于每个顶点，我们将跟踪三个信息。首先，把从s开始到顶点的距离放到dv栏中。开始的时候，除了s外的其它顶点都是不可达的，而到s的路径长为0。pv记录的是该顶点之前的一个顶点。known表示该顶点是否被处理过（确认了距离），初始值都是false，如果确定了s到该顶点的距离，则将known置为true。

保存各个顶点信息的数据结构（也是上面配置表中的结构）：

//保存每个顶点信息的数据结构struct GraphNode{    bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定    int dist;//当前顶点到起点的最短距离    int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点};

图类的接口：

/********************************************************  类名称： 邻接表图********************************************************/ class Graph{    private:        int edge_num;//图边的个数        int vertex_num;//图的顶点数目        list<Node> * graph_list;//邻接表        vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组            public:        Graph(){}        Graph(char* graph[], int edgenum);         ~Graph();        void print();        void unwightedShorestPath(int src);//算法1求最短距离        void unwightedShorestPathAdv(int src);//算法2求最短距离        void printShorestPath(); //输出顶点src到各个顶点最短距离的信息    private:        vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);        void addEdge(char* graph[], int columns);};

关于图邻接表表示法的实现参考：数据结构与算法——图的邻接表表示法类的C++实现

算法1具体步骤：

1、初始化上面的配置表，known栏全部设为false,dv栏全部设置为无穷大，pv栏初始化为0.

2、先把距离为0上的顶点的dist设为0。

3、从距离currentDist为0开始，遍历每个顶点，如果找到某个顶点的known为false并且该顶点的dv==currentDist，则将该顶点的known设置为true。然后再遍历所有与该顶点相邻的顶点，如果这些相邻的顶点的dv是无穷大，则将dv设置为currentDist+1，并在这些相邻顶点的pv字段记录该顶点。

4、将currentDist++。重复步骤3，直到currentDist等于顶点的数目。

算法1的函数实现：

/**************************************************  函数名称：unwightedShorestPath(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::unwightedShorestPath(int src){    //步骤1，初始化配置表    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        nodeArr[i].known = false;        nodeArr[i].dist = INFINITY;        nodeArr[i].path = 0;    }    //步骤2，先把距离为0的顶点的dist设置为0    nodeArr[src].dist = 0;    //步骤4    for(int currentDist = 0; currentDist < vertex_num; ++currentDist){        //步骤3         for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){            if((!nodeArr[i].known) && (nodeArr[i].dist == currentDist)){                nodeArr[i].known = true;                //遍历与顶点i相邻的所有顶点                for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){                    if(nodeArr[(*it).vertex].dist == INFINITY){                        nodeArr[(*it).vertex].dist = currentDist + 1;                        nodeArr[(*it).vertex].path = i;                    }                }            }        }    }}

算法1中有双层for循环，因此算法的时间复杂度为O(|V|^2）。时间复杂度比较高。一个明显的低效率在于，尽管所有的顶点早就成为known了，但是外层的循环还要继续。

在算法2中将已经确定了的顶点，还有没有确定的顶点分开。使用了一个队列来实现，放入队列中的都是没有确定的，从队列中弹出的顶点都是已经确定的。

算法2具体步骤：

1、将配置表中各个顶点的dist字段进行初始化为无穷大。

2、将顶点s的dist字段设为0。

3、将顶点s压入队列que中。

4、如果队列que非空，则将队首的元素v弹出。并遍历与v相邻的所有顶点w，如果顶点w的dist为无穷大，则将w.dist设为v.dist+1；w.path=v;并将顶点w压入队列。

5、循环执行步骤4，直至队列que为空。

该算法2没有使用known字段。

算法2函数实现：

/**************************************************  函数名称：unwightedShorestPathAdv(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离,*            该算法比unwightedShorestPathAdv要好*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::unwightedShorestPathAdv(int src){    queue<int> que;    //步骤1，将各个顶点的dist设置为无穷大    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i)        nodeArr[i].dist = INFINITY;    //步骤2，将顶点src的dist字段设为0    nodeArr[src].dist = 0;    //步骤3，将顶点src压入队列que中    que.push(src);    //步骤5    while(!que.empty()){        //步骤4         int top = que.front();//获得队列的首元素        que.pop();//弹出队列的首元素        //遍历与顶点相邻的所有顶点         for(list<Node>::iterator it = graph_list[top].begin(); it != graph_list[top].end(); ++it){            if(nodeArr[(*it).vertex].dist == INFINITY){                nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[top].dist + 1;                nodeArr[(*it).vertex].path = top;                que.push((*it).vertex);            }        }    }}

测试主函数：

int main(int argc, char *argv[]){    char *topo[5000];    int edge_num;    char *demand;    int demand_num;    char *topo_file = argv[1];    edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);    if (edge_num == 0)    {        printf("Please input valid topo file.\n");        return -1;    }    int src;    cout << "输入求最短路径的起点：";    cin >> src;    Graph G(topo, edge_num);    G.print();        cout << "算法1: " << endl;    G.unwightedShorestPath(src);    G.printShorestPath();    cout << "算法2：" << endl;    G.unwightedShorestPathAdv(src);    G.printShorestPath();    release_buff(topo, edge_num);return 0;}

测试的图数据：

1,1,2,12,1,4,13,2,4,14,2,5,15,3,1,16,3,6,17,4,3,18,4,6,19,4,5,110,4,7,111,5,7,112,7,6,1

第1列表示边的编号，第2列表示边的起点，第3列表示边的终点，第4列表示边的权重。因为此时是无权图，所以边的权重为1。

下面是图邻接表类的源代码：

#ifndef GRAPH_H#define GRAPH_H#include <list>#include <iostream>#include <vector>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <algorithm>#include <iterator>#include <stdio.h>#include <errno.h>#include <unistd.h>#include <signal.h>#include <queue>using namespace std;#define MAX_VERTEX_NUM 600#define INFINITY 1000000//将INFINITY定义为无穷大的值//保存每个顶点信息的数据结构struct GraphNode{    bool known;//当前顶点距离起点的距离是否确定    int dist;//当前顶点到起点的最短距离    int path;//当前顶点距离起点的最短路径的前一个顶点};//图节点信息typedef struct Node{     int edge_num;//边号     int src;//源点     int vertex;//自身     int weight;//边的权重 }Node; /********************************************************  类名称： 邻接表图********************************************************/ class Graph{    private:        int edge_num;//图边的个数        int vertex_num;//图的顶点数目        list<Node> * graph_list;//邻接表        vector<GraphNode> nodeArr;//保存每个顶点信息的数组            public:        Graph(){}        Graph(char* graph[], int edgenum);         ~Graph();        void print();        void unwightedShorestPath(int src);//算法1求最短距离        void unwightedShorestPathAdv(int src);//算法2求最短距离        void printShorestPath(); //输出顶点src到各个顶点最短距离的信息    private:        vector<int> get_graph_value(char* graph[], int columns);        void addEdge(char* graph[], int columns);};/**************************************************  函数名称：unwightedShorestPathAdv(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离,*            该算法比unwightedShorestPathAdv要好*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::unwightedShorestPathAdv(int src){    queue<int> que;    //步骤1，将各个顶点的dist设置为无穷大    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i)        nodeArr[i].dist = INFINITY;    //步骤2，将顶点src的dist字段设为0    nodeArr[src].dist = 0;    //步骤3，将顶点src压入队列que中    que.push(src);    //步骤5    while(!que.empty()){        //步骤4         int top = que.front();//获得队列的首元素        que.pop();//弹出队列的首元素        //遍历与顶点相邻的所有顶点         for(list<Node>::iterator it = graph_list[top].begin(); it != graph_list[top].end(); ++it){            if(nodeArr[(*it).vertex].dist == INFINITY){                nodeArr[(*it).vertex].dist = nodeArr[top].dist + 1;                nodeArr[(*it).vertex].path = top;                que.push((*it).vertex);            }        }    }}/**************************************************  函数名称：unwightedShorestPath(int src)*  功能描述：求无权图的任意点到其它顶点的距离*  参数列表：src是起点*  返回结果：void *************************************************/void Graph::unwightedShorestPath(int src){    //步骤1，初始化配置表    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        nodeArr[i].known = false;        nodeArr[i].dist = INFINITY;        nodeArr[i].path = 0;    }    //步骤2，先把距离为0的顶点的dist设置为0    nodeArr[src].dist = 0;    //步骤4    for(int currentDist = 0; currentDist < vertex_num; ++currentDist){        //步骤3         for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){            if((!nodeArr[i].known) && (nodeArr[i].dist == currentDist)){                nodeArr[i].known = true;                //遍历与顶点i相邻的所有顶点                for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){                    if(nodeArr[(*it).vertex].dist == INFINITY){                        nodeArr[(*it).vertex].dist = currentDist + 1;                        nodeArr[(*it).vertex].path = i;                    }                }            }        }    }}/**************************************************  函数名称：printShorestPath()*  功能描述：将获得的src顶点到其它顶点的最短路径输出*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/void Graph::printShorestPath(){    cout << "顶点\t" << "known\t" << "dist\t" << "path" << endl;    for(int i = 0; i < vertex_num; ++i){        if(nodeArr[i].known)            cout << i << "\t" << nodeArr[i].known << "\t" << nodeArr[i].dist << "\t" << nodeArr[i].path << endl;    } }/**************************************************  函数名称：print*  功能描述：将图的信息以邻接表的形式输出到标准输出*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/void Graph::print(){    cout << "******************************************************************" << endl;     //for(int i = 0 ; i < MAX_VERTEX_NUM; ++i){    for(int i = 0 ; i < vertex_num; ++i){        if(graph_list[i].begin() != graph_list[i].end()){            cout << i << "-->";            for(list<Node>::iterator it = graph_list[i].begin(); it != graph_list[i].end(); ++it){                cout << (*it).vertex << "(边号:" << (*it).edge_num << ",权重:" << (*it).weight << ")-->";            }            cout << "NULL" << endl;        }    }    cout << "******************************************************************" << endl; }/**************************************************  函数名称：get_graph_value*  功能描述：将图的每一条边的信息保存到一个数组中*  参数列表: graph：指向图信息的二维数组             columns:图的第几条边*  返回结果：无*************************************************/vector<int> Graph::get_graph_value(char* graph[], int columns){    vector<int> v;    char buff[20];    int i = 0, j = 0, val;    memset(buff, 0, 20);    while((graph[columns][i] != '\n') && (graph[columns][i] != '\0')){        if(graph[columns][i] != ','){            buff[j] = graph[columns][i];            j++;        }        else{            j = 0;            val = atoi(buff);             v.push_back(val);            memset(buff, 0, 20);        }        i++;    }    val = atoi(buff);     v.push_back(val);    return v;}/**************************************************  函数名称：addEdge*  功能描述：将图的每一条边的信息加入图的邻接表中*  参数列表：graph：指向图信息的二维数组             columns:图的第几条边*  返回结果：无*************************************************/void Graph::addEdge(char* graph[], int columns){    Node node;    vector<int> v = get_graph_value(graph, columns);    node.edge_num = v[0];    node.src = v[1];    node.vertex = v[2];    node.weight = v[3];    //根据顶点的标号，求的总的顶点数目    if(node.vertex > vertex_num)        vertex_num = node.vertex;    //要考虑重复的边，但是边的权重不一样    for(list<Node>::iterator it = graph_list[node.src].begin(); it != graph_list[node.src].end(); ++it){        if((*it).vertex == node.vertex){            if((*it).weight > node.weight){                (*it).weight = node.weight;               }            return;        }    }    graph_list[node.src].push_back(node);}/**************************************************  函数名称：构造函数*  功能描述：以邻接表的形式保存图的信息,并保存必须经过的顶点*  参数列表：graph：指向图信息的二维数组             edgenum:图的边的个数*  返回结果：无*************************************************/Graph::Graph(char* graph[], int edgenum):nodeArr(MAX_VERTEX_NUM){    edge_num =  edgenum;     vertex_num = 0;    graph_list = new list<Node>[MAX_VERTEX_NUM+1];    for(int i = 0; i < edgenum; ++i){        addEdge(graph, i);       }    vertex_num++;}/**************************************************  函数名称：析构函数*  功能描述：释放动态分配的内存*  参数列表：无*  返回结果：无*************************************************/Graph::~Graph(){    delete[] graph_list;}#endif

下面是测试函数的代码：

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <string.h>#include <assert.h>#include <time.h>#include <sys/timeb.h>#include <errno.h>#include <unistd.h>#include <signal.h>#include <stdio.h>#include "graphShorestPath.h"#define MAX_LINE_LEN 4000int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename);void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num);int main(int argc, char *argv[]){    char *topo[5000];    int edge_num;    char *demand;    int demand_num;    char *topo_file = argv[1];    edge_num = read_file(topo, 5000, topo_file);    if (edge_num == 0)    {        printf("Please input valid topo file.\n");        return -1;    }    int src;    cout << "输入求最短路径的起点：";    cin >> src;    Graph G(topo, edge_num);    G.print();        cout << "算法1: " << endl;    G.unwightedShorestPath(src);    G.printShorestPath();    cout << "算法2：" << endl;    G.unwightedShorestPathAdv(src);    G.printShorestPath();    release_buff(topo, edge_num);return 0;}/*****************************************************************   函数名称：read_file*   功能描述: 读取文件中的图的数据信息*   参数列表: buff是将文件读取的图信息保存到buff指向的二维数组中 *             spec是文件中图最大允许的边的个数*             filename是要打开的图文件*   返回结果：无*****************************************************************/int read_file(char ** const buff, const unsigned int spec, const char * const filename){    FILE *fp = fopen(filename, "r");    if (fp == NULL)    {        printf("Fail to open file %s, %s.\n", filename, strerror(errno));        return 0;    }    printf("Open file %s OK.\n", filename);    char line[MAX_LINE_LEN + 2];    unsigned int cnt = 0;    while ((cnt < spec) && !feof(fp))    {        line[0] = 0;        fgets(line, MAX_LINE_LEN + 2, fp);        if (line[0] == 0)   continue;        buff[cnt] = (char *)malloc(MAX_LINE_LEN + 2);        strncpy(buff[cnt], line, MAX_LINE_LEN + 2 - 1);        buff[cnt][4001] = 0;        cnt++;    }    fclose(fp);    printf("There are %d lines in file %s.\n", cnt, filename);    return cnt;}/*****************************************************************   函数名称：release_buff*   功能描述: 释放刚才读取的文件中的图的数据信息*   参数列表: buff是指向文件读取的图信息*             valid_item_num是指图中边的个数*   返回结果：void*****************************************************************/void release_buff(char ** const buff, const int valid_item_num){    for (int i = 0; i < valid_item_num; i++)        free(buff[i]);}

下面是运行结果：

0 0