01背包问题

题目

这题非常有名，只要是计算机专业的应该都有听说过。有N件物品和一个容量为V的背包。第i件物品的体积是c[i]，价值是v[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

我们把题目具体下， 有5个商品，背包的体积为10，他们的体积为 c[5] = {3,5,2,7,4};  价值为 v[5] = {2,4,1,6,5};

问题分析

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。可以将背包问题的求解看作是进行一系列的决策过程，即决定哪些物品应该放入背包，哪些不放入背包。


如果一个问题的最优解包含了物品n，即Xn = 1，那么其余X1, X2, .....,Xn-1 一定构成子问题1,2,.....,n-1在容量C - cn时的最优解。如果这个最优解不包含物品n,即Xn = 0;


那么其余 X1, X2.....Xn-1一定构成了子问题 1,2,....n-1在容量C时的最优解。  //请各位仔细品味这几句话


根据以上分析最优解的结构递归定义问题的最优解    f[i][v] = max{ f[i-1][v] , f[i-1][v - c[i]] + v[i]}


解决方案


#include<iostream>
 
#define max(a,b) ((a) > (b) ? a : b)
int c[5] = {3,5,2,7,4};
int v[5] = {2,4,1,6,5};
int f[6][10] = {0};
//f[i][v] = max{ f[i-1][v] , f[i-1][v - c[i]] + w[i]}
 
int main()
{
    for(int i = 1; i < 6; i++)
        for(int j = 1; j < 10 ;j++)
        {
            if(c[i] > j)//如果背包的容量，放不下c[i]，则不选c[i]
                f[i][j] = f[i-1][j];        
            else
            {
                f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i-1][j - c[i]] + v[i]);//转移方程式
            }
        }
        std::cout<<f[5][9];
    return 0;

}

01背包问题是最基本的动态规划问题，也是最经典，最易懂的。所以请读者仔细推敲这段代码。它包含了背包问题中设计状态、方程的最基本思想。