（NYoj 304） 节能 --区间DP

节能
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难度：5
描述
Dr.Kong设计的机器人卡多越来越聪明。最近市政公司交给卡多一项任务，每天早晨5：00开始，它负责关掉ZK大道右侧上所有的路灯。
卡多每到早晨5：00准会在ZK大道上某盏路灯的旁边，然后他开始关灯。每盏灯都有一定的功率，机器人卡多有着自觉的节能意识，它希望在关灯期间，ZK大道右侧上所有路灯的耗电量总数是最少的。
机器人卡多以1m/s的速度行走。假设关灯动作不需要花费额外的时间，因为当它通过某盏路灯时就顺手将灯关掉。
请你编写程序，计算在给定路灯设置，灯泡功率以及机器人卡多的起始位置的情况下，卡多关灯期间，ZK大道上所有灯耗费的最小能量。
输入
有多组测试数据，以EOF为输入结束的标志
每组测试数据第一行： N 表示ZK大道右侧路灯的数量 （2≤ N ≤ 1000）
第二行： V 表示机器人卡多开始关灯的路灯号码。 （1≤V≤N）
接下来的N行中，每行包含两个用空格隔开的整数D和W，用来描述每盏灯的参数

D表示该路灯与ZK大道起点的距离 (用米为单位来表示)，
W表示灯泡的功率，即每秒该灯泡所消耗的能量数。路灯是按顺序给定的。
（ 0≤D≤1000， 0≤W≤1000 ）
输出
输出一个整数，即消耗能量之和的最小值。注意结果小于200，000，000
样例输入
4
3
2 2
5 8
6 1
8 7
样例输出
56
来源
第四届河南省程序设计大赛

分析：
该题是一个区间DP问题。在每个灯的下面时，机器人可以向左和向右两边去关灯。并且关掉区间第[i,j]的灯后他可能在区间的左边和区间的右边。所以我们这样定义状态：
d[i][j][0]:表示关闭第i到第j之间的灯后，机器人停在区间左边i，此时已经消耗的电能的最小值。
d[i][j][1]:表示关闭第i到第j之间的灯后，机器人停在区间右边j，此时已经消耗的电能的最小值。

当已经关闭了第i到第j个灯后，去关第i-1,(或者第j+1)个灯时，机器人可以从状态d[i][j][0]出发，也可以从状态d[i][j][1]出发。

我们令ap表示所有灯的功率之和，tp[i][j]表示第i个灯到第j个灯的功率之和。所以ap-tp[i][j]表示[i,j]之外还没有关的灯的功率之和。

所以状态转移方程为：
dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(ap-tp[i+1][j])(d[i+1]-d[i]),dp[i+1][j][1]+(ap-tp[i+1][j])(d[j]-d[i]));
dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][1]+(ap-tp[i][j-1])(d[j]-d[j-1]),dp[i][j-1][0]+(ap-tp[i][j-1])(d[j]-d[i]));

关于初始化：
我们是从第v个灯开始往左右扩散的，所以首先我们要求出所以d[i][v][0],d[i][v][1],d[v][j][0],d[v][j][1]的值。

AC代码：

#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;const int N = 1010;int dp[N][N][2];int tp[N][N];//tp[i][j]表示第i个灯到底j个灯的功率之和int d[N],w[N];int ap;//所以灯的总功率int main(){    int n,v;    while(scanf("%d%d",&n,&v)!=EOF)    {        memset(tp,0,sizeof(tp));        memset(dp,0,sizeof(dp));        ap=0;        //计算ap        for(int i=1;i<=n;i++)        {            scanf("%d%d",&d[i],&w[i]);            ap+=w[i];        }        //计算tp[][]        for(int i=1;i<=n;i++)        {            for(int j=i;j<=n;j++)                tp[i][j]=tp[i][j-1]+w[j];        }        //初始化        for(int i=v-1;i>=1;i--)        {            dp[i][v][0]=dp[i+1][v][0]+(ap-tp[i+1][v])*(d[i+1]-d[i]);            dp[i][v][1]=dp[i][v][0]+(ap-tp[i][v])*(d[v]-d[i]);        }        for(int j=v+1;j<=n;j++)        {            dp[v][j][1]=dp[v][j-1][1]+(ap-tp[v][j-1])*(d[j]-d[j-1]);            dp[v][j][0]=dp[v][j][1]+(ap-tp[v][j])*(d[j]-d[v]);        }        //计算dp[][][]        for(int i=v-1;i>=1;i--)        {            for(int j=v+1;j<=n;j++)            {                dp[i][j][0]=min(dp[i+1][j][0]+(ap-tp[i+1][j])*(d[i+1]-d[i]),                                dp[i+1][j][1]+(ap-tp[i+1][j])*(d[j]-d[i]));                dp[i][j][1]=min(dp[i][j-1][1]+(ap-tp[i][j-1])*(d[j]-d[j-1]),                                dp[i][j-1][0]+(ap-tp[i][j-1])*(d[j]-d[i]));            }        }        printf("%d\n",min(dp[1][n][0],dp[1][n][1]));    }    return 0;}