vijos1037 搭建双塔（重庆一中高2018级信息学竞赛测验7） 解题报告

【问题描述】  
  
　　2001年9月11日，一场突发的灾难将纽约世界贸易中心大厦夷为平地，Mr. F曾亲眼目睹了这次灾难。为了纪念“9?11”事件，Mr. F决定自己用水晶来搭建一座双塔。


　　Mr. F有N块水晶，每块水晶有一个高度，他想用这N块水晶搭建两座有同样高度的塔，使他们成为一座双塔，Mr. F可以从这N块水晶中任取M（1≤M≤N）块来搭建。但是他不知道能否使两座塔有同样的高度，也不知道如果能搭建成一座双塔，这座双塔的最大高度是多少。所以他来请你帮忙。


　　给定水晶的数量N和每块水晶的高度Hi，你的任务是判断Mr. F能否用这些水晶搭建成一座双塔（两座塔有同样的高度），如果能，则输出所能搭建的双塔的最大高度，否则输出“Impossible”。 
 
    
 【输入格式】  
  
　　第一行为一个数N，表示水晶的数量。
　　第二行为N个数，第i个数表示第i个水晶的高度。


 
    
 【输出格式】  
   
　　输出仅包含一行，如果能搭成一座双塔，则输出双塔的最大高度，否则输出一个字符串“Impossible”。


 
    
 【输入样例】   
   
5
1 3 4 5 2 
 
    
 【输出样例】  
   
7 
 
    
 【数据范围】  
   
50%的数据：1≤N≤20， N块水晶高度的总和不超过2000；
70%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过2000；
100%的数据：1≤N≤100， N块水晶高度的总和不超过500000。

做题思路（70分解法）：拿到这道题时，因为求的是双塔（两座塔高度相同）的最大高度，于是想到递推算法，根据求什么设什么，f(i,j,k)表示前i块水晶能否搭建出第一座塔高度为j，第二座塔高度为k，因为分析前i块水晶时只与前i-1块水晶有关，所以可以使用滚动数组，省去一维。分析第i块水晶，可以不搭，可以搭在第一座塔上，也可以搭在第二座塔上，所以递推方程（滚动数组）为：f(j,k)=f(j,k) || f(j-h[i],k)  || f(j,k-h[i])（即只要f(j,k),f(j-h[i],k),f(j,k-h[i])中有一个可行，f(j,k)也可行）。边界条件为f(0,0)=1，即无论用多少块水晶，都可以选择不搭，此时两座塔的高度均为0。但如果这样设状态函数的话，根据题目的数据范围，N块水晶高度总和不超过500000，如果设f[500005][500005]显然会超内存（限制128M），所以为了保险起见，考试时只设了f[2005][2005]。

解题思路（正解）：因为已知如果直接求什么设什么是不行的，所以要换个思路来设计状态函数，因为求的双塔高度相同，即高度差为0，所以可以运用动态规划，设f(i,j)表示前i块水晶，选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时，第一座塔的最大高度，这样设的话，数组只需设f[105][500005]，不会超内存，但可以发现高度差j可能为负数，对此，可以运用宏定义将负数j平移为正数。同样，分析第i块水晶，可以不搭，可以搭在第一座塔上，也可以搭在第二座塔上，所以状态转移方程为f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])。边界条件为f(0,0)=0，即不选水晶，两座塔的高度差为0，求塔高也都为0。需要注意的是，因为此种设法分析前i块水晶时，仍只与前i-1块水晶有关，所以也可以使用滚动数组来优化空间，但又为了保证正确，可以用二维滚动数组，在枚举高度差j时，可以进行优化，先在输入时计算出前i块水晶的高度和sum[i]（前缀和），则枚举第i块水晶时，高度差最多为sum[i]，最少为-sum[i]。如果最后f(N%2,0)是小于或等于0的，说明不存在双塔，需输出“Impossible”。

#include<cstdio>#include<cstdlib>#include<iostream>#include<algorithm>#include<cstring>#define f(x,y) d[(x)][(y)+1000000]  //宏定义，注意建议平移多一点，不然可能有的数据会出问题using namespace std;const int maxn=105;const int inf=1000000010;int N,sum=0;int h[maxn],s[maxn];/*f(i,j)表示前i块水晶，选择一些搭出第一座塔与第二座塔的高度差为j时，第一座塔的最大高度 f(i,j)=max(f(i-1,j),f(i-1,j-h[i]),f(i-1,j+h[i])+h[i])边界：f(0,0)=0 */int d[2][2000005];  //二维滚动数组void solve()  //动态规划{for(int i=0;i<2;i++)for(int j=-sum;j<=sum;j++)f(i,j)=-inf;  //初始化f(0,0)=0;  //边界for(int i=1;i<=N;i++){for(int j=-s[i];j<=s[i];j++)f(i%2,j)=-inf;for(int j=-s[i];j<=s[i];j++){int t1=f((i-1)%2,j),t2=f((i-1)%2,j-h[i]),t3=f((i-1)%2,j+h[i])+h[i];f(i%2,j)=max(t1,max(t2,t3));}}if(f(N%2,0)>0)  printf("%d\n",f(N%2,0));else  printf("Impossible\n");/*for(int j=-s[N];j<=s[N];j++)printf("%d ",f(N%2,j));*/}int main(){freopen("tower.in","r",stdin);//freopen("tower1.out","w",stdout);scanf("%d",&N);s[0]=0;for(int i=1;i<=N;i++){scanf("%d",&h[i]);s[i]=s[i-1]+h[i];  //预处理，计算前缀和sum+=h[i];  //计算高度差的范围}solve();return 0;}

考后反思：在考试时，如果实在想不出满分程序，那么一定要保证得部份分程序的正确（不要因为题目范围太大，就盲目地把数组设太大，可能会超内存）。