三国杀 中的概率计算 几何分布的期望和方差分析

本文计算了三国杀中一些有趣的概率结果，包括：甄姬洛神的期望为1，与周瑜确定的1张相等，如果只比较洛神和英姿两个技能，前者是占优的。黄月英的期望值 ，并不像想象的那么高，仅为0.798。黄盖的初始平均手牌大约为15张，周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定，计算平均值得，周泰的平均死亡时间是 5.43。

1、仁王盾和八卦盾，选哪个比较好？

这个问题是因人因形式而异的。一般情况下，黑杀有70%，而八卦判定概率为50%（红黑牌各54张），所以仁王盾的防御力比八卦盾高一点，但有几种情况下要特殊对待的。

• a) 如果你选择的人物是郭嘉，那就选择八卦盾吧，凡是判定的牌都归你所有，也就是说当你有了八卦盾，别人打你只是给你送牌。这时候会有一种情况比较有意思，你的队友装备了连弩，然后让他攻击你，当你判定失败并且扣血摸牌后，你可以将杀再给队友，呵呵，有点变态了……

• b) 如果有司马懿在场，要考虑下他是否和你是队友，如果是的话，可以考虑用八卦，如果不是的话，八卦就变成垃圾了。

• c) 如果有关羽在场，并且不是队友的话，要注意了。关羽有54张红色的牌作为杀，还有21张黑色的杀，对于这号人物，他有72%的红杀，你的仁王盾还是考虑换成八卦吧。

• d) 如果有赵云在场，并且不是队友的话，也要注意了。赵云有45张杀（24张红杀，其中15张红闪），红色杀的概率为53.3%，仁王盾就不太好用了。

• e) 最后要注意一点，就是仁王盾是没有几率的，当关羽赵云杀你的时候，基本上都会出红杀，所以从实践角度来说，碰到这两个人，仁王盾就是一个摆设。

2.被闪电劈中的概率有多少？

呵呵，碰到司马懿在场，要不就相当于你头上顶了避雷针，要不就相当于你就是避雷针，基本没有概率。
在一般情况下，黑桃2到黑桃9之间的牌，一共有17张（其中5张杀，4张武器，1张防具，1匹+1马，6条锦囊），几率为15.74%，从数学期望角度来说，也就是摸6张牌，其中有一张就是，
换句话说，基本上6轮判定里面就会出现一个避雷针。实际游戏时，考虑到武器、防具、马基本都会被装备掉，而不出现在牌堆里，所以其概率会进一步降低到10.2%。

3.当手上有杀有闪的时候，应该留什么牌比较容易不掉血？

• a) 如果有盾装备，那就选杀，废话……^-^，呵呵，很多人都会忘掉自己的装备。

• b) 如果是甄姬，就选黑杀，黑杀既可以作杀，也可作闪。同理，如果是关羽，就留闪，所有的闪都是红的，都可以作为杀。

• c) 对于其他一般人来说，就要考虑场上的位置，和你的角色。如果你是主公，留闪吧，大家都会打你的。如果你的边上都是敌人，那就留闪吧。除了这两种情况外，还要考虑场上是否有曹操，这小子忒KB了，3张南蛮入侵和1张万箭齐发，会被他扩散成6张南蛮入侵和2张万箭齐发，而南蛮入侵的几率是75%，如果手头没有无懈可击，那就考虑拿杀吧，免得被AOE死。

各个人物的特色分析

甄姬与周瑜

武将技：
倾国——你可以将一张黑色手牌当【闪】使用或打出。
洛神——准备阶段开始时，你可以进行判定，若结果为黑色，你获得生效后的判定牌且你可以重复此流程。

[Q]甄姬面前有需要判定的延时锦囊时，甄姬发动【洛神】，并获得1张【无懈可击】，在【洛神】发动结束后，甄姬是否可以使用此张【无懈可击】来抵消延时锦囊？
[A]可以。

[Q]甄姬是否可以先判定延时锦囊，然后再发动【洛神】？
[A]不可以，【洛神】只有在回合开始阶段可以发动，如果甄姬直接进入判定阶段，就视为放弃发动【洛神】。

武将技：
英姿——摸牌阶段，你可以额外摸一张牌。
反间——出牌阶段限一次，若你有手牌，你可以令一名其他角色选择一种花色，然后该角色先获得你的一张手牌再展示之，若此牌的花色与其所选的不同，你对其造成1点伤害。

[Q]周瑜发动【反间】时，如果目标角色受伤害进入濒死状态，抽到的【反间】牌是【桃】时，是否可以立即使用这张【桃】自救？
[A]可以。

[Q]周瑜发动【反间】时，如果有多张手牌，牌的放置顺序由谁决定？
[A]由周瑜决定。

[Q]周瑜发动【反间】时，在结算过程中，【反间】牌归谁所有？
[A]无论什么情况，都由目标角色获得。

[Q]周瑜发动【反间】时，若目标角色受伤死亡，【反间】牌如何处理？
[A]【反间】牌将属于目标角色，作为角色的手牌进行死亡结算。

[Q]小乔抽取周瑜的黑桃，是否算红桃？
[A]因为这张牌已经算是小乔的，因此可以触发【红颜】。

[Q]周瑜对小乔发动【反间】，小乔天香给曹操，谁获得周瑜的反间牌？
[A]小乔。

[Q]周瑜受到【兵粮寸断】的效果时，能否发动英姿？
[A]不能。

[Q]周瑜发动【反间】技能造成的伤害是什么属性？
[A]普通伤害。

[Q]周瑜【反间】过程中，【反间】牌是否需要一直明示？
[A]需要一直明示直到【反间】全部结算完毕。即是周瑜【反间】司马懿时，司马懿发动反馈，此时【反间】牌还处于明示状态。

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由概率论的知识可以知道，甄姬摸牌张数X是服从几何分布的离散随机变量，其中参数p为1/2。用a表示甄姬额外摸牌数量的期望，则有

这说明甄姬洛神的期望为1，与周瑜确定的1张相等（之前我觉得甄姬的期望会小一些），单从期望值来看，两者没有什么区别。但是考虑到三国杀特有的性质，尤其是诸葛连弩等设备的存在性，牌多的时候威力增加得非常之快，玩家存在着一种风险追求的心理，于是有——

一般情况下，手牌的效用函数u关于手牌张数x是单调递增的凸函数。

用凸函数的性质我们不难证明，甄姬的技能造成的手牌效用大于周瑜的效用，也就是说，一般情况下，如果只比较洛神和英姿两个技能，前者是占优的。

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黄月英

武将技：
集智——每当你使用非延时类锦囊牌时，你可以摸一张牌。。
奇才——锁定技，你使用锦囊牌无距离限制。

[Q]黄月英发动【集智】时，摸到的牌是否可以立即使用？
[A]视为归入手牌，可以立即使用。

[Q]黄月英发动【集智】时，先摸1张牌还是在锦囊结算后再摸一张牌？
[A]使用锦囊后，可以在锦囊结算前马上摸1张牌。如果进入结算则无法再摸1张牌。

相信大家都有看着黄月英打单机看到睡着的经历，有了上面的结果，我们可以也尝试着计算一下黄月英的期望。由于锦囊里无中生有是非常引人注目的，我们将这个问题单独拿出来讨论。首先，为了简化计算，我们做如下假设：

假设1. 摸牌的过程是无放回抽签模型。这就是说，任何时候，从牌堆上方摸到某一种牌的可能性p就是这种牌的张数在总张数里占的比例。这不仅是对于自己摸牌的阶段来说，也忽略了别人手中有你要的牌的可能。在甄姬的讨论中，我们已经用到了这一假设。这一假设引 起的误差是很小的。事实上，计算所得的期望一般很小，在1左右，所以摸到很多张同种牌的概率很小，与我们的假设符合。
我们首先讨论无中生有对于一般玩家的影响。
用p*表示某次摸牌摸到无中生有的概率，有
p*=a*/s。
a*是无中生有的张数，s是总张数，在某次无中生有摸到的两张牌中至少有一张无中生有的概率是
由于p*很小，尽似取为2p*。实际情况
a*=4,s=109,p*=0.037.

高阶无中生有可以忽略。

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下面我们开始计算黄月英附加摸牌张数的期望a。在这里也要做一个假设，黄月英会将所有能用掉的锦囊用掉，同时忽略所有五谷丰登的影响（太崩溃了）。首先计算使用一张锦囊后集智带来的额外张数b。用p表示黄月英下一张摸到非延时锦囊的概率（不包括无中生有）。根据类似几何分布的性质，我们可以得到关系：

                             b=1+p×b+p*×(3+3b)   解出b得：                             b=(1+3p*)/(1-p-3p*)

游戏中，p=18/109=0.165. 按计算器得b=1.53.
由此我们可以开始计算a.（这是一个综合考虑一般锦囊和无中生有的浩大工程…）

a=p×p×2b+2p×b+p*×p*×2(2+b)+2p*×(2+b)-2p×p*(2+2b)=0.798

计算结果令人惊讶，黄月英的期望值并不像想象的那么高，仅为0.798！相比之下，还不如周瑜和貂蝉的确定1张，甄姬的平均1张。关于这个问题，我们可以通过性质1给出解释。从b>1可以发现，黄月英一旦摸到一张锦囊，潜力是很足的，而且黄月英在第一轮六张手牌时是极其KB的。黄月英用较低的平均值换取了更高的风险，也就是爆发力
爆发力惊人的选手。在讨论爆发力之前，这里先做一个申明，这里的爆发力都是开篇爆发力，后期的爆发力个人觉得意义不大，而且情况复杂，没法子做一个结论。黄月英的爆发力是个人感觉最大的，还是用数字说话，锦囊一共有35条，其中3条可能是不能使用的（1桃园，2借刀），这里假设都能使用。在这35条锦囊中，有4个无中生有（可以换3张），5个顺手牵羊、2个五谷丰登（可以换2张），其余的锦囊可以换1张。对于黄月英来说，1条锦囊牌就等效于4/35*3+7/35*2+24/35*1=1.43张牌。在开局后轮到黄月英的时候，手牌将有6张，用排列组合进行计算得到如下结论，

a) 0张锦囊的概率为8.9%

b) 1张锦囊的概率为27.5%

c) 2张锦囊的概率为33.8%

d) 3张锦囊的概率为21.3%

e) 4张锦囊的概率为7.2%

f) 5张锦囊的概率为1.2%

g) 6张锦囊的概率为0.85%

酱紫，我们可以得到黄月英实际手牌数量增加的数学期望值，

1*0.275+2*0.338+3*0.213+4*0.072+5*0.012+6*0.0085=1.913

考虑到每张锦囊等效于1.43张牌，所以黄月英的手牌数应为1.913*1.43=2.74，将近3张牌。这里我们可以定义黄月英的爆发力为2.74++，这里的++蕴含了两个意思，

1) 爆发力的瞬间最大值会很大，如果看到黄月英手里有将近20牌，那也别震惊，那个是完全有可能的。

2) 这些爆牌过程中使用掉的锦囊将会造成的破坏力也是不容忽视的，在黄月英只是把所有的锦囊都用掉后，经常会看到受伤的主公只有很少的手牌，而且被乐了……

附带说下主公碰到黄月英的打法，在这里我碰到很多主公上来就装备武器砍黄月几刀，想消耗黄月英的手牌，或者至少给予警告，其实这是错误的打法。至少首轮千万不要装备武器，不要随便打击任何人，酱紫轮到黄月英出手的时候，可以通过抑制借刀杀人和桃园结义锦囊来进一步抑制黄月英爆发的几率。

黄盖 –公瑾，请鞭策我!

有了之前的分析，有关黄盖的计算就简单多了。先做如下假设：
假设2.
（暴力黄盖假设）所考虑的黄盖会在任何有可能时将自己变成一滴血的状态。
于是有推论
推论1. 暴力黄盖的所有桃和桃园结义等价于无中生有。
此时摸到“无中生有”的概率
p*=13/109=0.119
忽略黄盖同时摸到三张“无中生有”的可能，忽略高阶“无中生有”，则暴力黄盖在第一回合未受打击的条件下可以获得的手牌平均数近似为：
a=4+2+(4-1)×2+12p*×(1-p*)^11×2+(12选2)p*^2×(1-p*)^10×4 =12+1.766

计算过程中发现，由于手中初始张数很多，p*也不是很小，高阶“无中生有”产生的影响并不能忽略，所以a只是黄盖手牌的一个下界，综合各方面因素给出估算，黄盖的初始平均手牌大约为15张！试想一下，这样的一个人坐在主公的下家高喊“苍天已死，黄天当立”，对于主公是多大的威胁。（以后大家不要再鄙视暴力黄盖了…）

周泰

不屈：任何时候，当你的体力被扣减到0或者更低时，每扣减一点体力：从牌堆上方亮出一张牌放在你的角色牌上，若该牌的点数与你角色牌上已有的任何一张牌都不同，你就不会死去，此时机视同濒死状态。

史上最恶心的小强，我曾作为黄盖手持连弩近十张杀奔向主公，被下家忠臣周泰半路截住，硬抗所有杀而屹立不倒，最后被其一刀砍翻。从此，周泰到底能活多久成了江湖上永远的谜…谜…
与前两个问题相比，有关周泰的计算倒不复杂，也不涉及什么引理，只要用到概率论的基本知识就可以了。用s表示总牌数（此处取s=52×2=104），从濒死开始，An表示在第n次判定后仍然屹立不倒这一事件，Dn表示周泰死于第n次判定这一事件。
结论：周泰并不是那么硬嘛。周泰可能性最大的死亡时间是第5次判定，计算平均值得，周泰的平均死亡时间是5.43（以前相信的一种说法是7次）。终于知道周泰能活多久了。

本文给出了有关RP（看脸）型英雄的几个有启发意义的概率结果，其中甄姬和周泰的计算基本是精确的，而有关无中生有的讨论都是近似的，都没有考虑五谷丰登的影响，对于黄盖的计算还有很大的不确定程度。希望有牛人能够给出黄盖的更加合理的计算结果。