JZOJ4693. 【NOIP2016提高A组模拟8.14】疯狂的火神

Description
火神为了检验zone的力量，他决定单挑n个人。
由于火神训练时间有限，最多只有t分钟，所以他可以选择一部分人来单挑，由于有丽子的帮助，他得到了每个人特定的价值，每个人的价值由一个三元组(a,b,c)组成，表示如果火神在第x分钟单挑这个人（x指单挑完这个人的时间），他就会得到a-b*x的经验值，并且他需要c分钟来打倒这个人。
现在火神想知道，他最多可以得到多少经验值，由于火神本来就很笨，进入zone的疯狂的火神就更笨了，所以他希望你来帮他计算出他最多可以得到多少经验值。

Input
第一行一个正整数T，表示数据组数
对于每组数据，第一行为两个正整数n和t，表示跟火神单挑的人的个数和火神的训练时间。
下面n行，每行三个正整数Ai,Bi,Ci，表示每个人的价值，含义见题目。
Output
对于每组数据输出一行一个整数表示火神最多能得到多少经验值

Sample Input
1
4 10
110 5 9
30 2 1
80 4 8
50 3 2
Sample Output
88

Data Constraint
对于 20%的数据1≤n≤10
对于50%的数据1≤n≤18
对于100%的数据1≤n≤1000,1≤t≤3000,1≤Ci≤t,Ai≤10^6
保证n>200的数据组数不超过五组，其他的数据组数不超过10组
保证每个人贡献的经验值到训练结束都不会变成负数

分析

看到题目就感觉像01背包，

在有限的时间里面，挑战一些人，使得获得的经验值最大。

但是，挑战每个人获得的经验值与时间相关。

那么如果确定了挑战的顺序，

剩下的东西就可以通过01背包轻松搞定。

• 但是，这个顺序怎么求？

如果求全排列，那么时间复杂度就是阶乘了，

很显然，会超时。

那么，可能会有一种最优顺序了。

假设我们选择了第i个人和第j个人，

• 怎样给题目安排顺序呢？

再假设在第m个时刻，第i个人排在第j个人前更优

就有：

ai−bi∗(ci+m)+aj−bj∗(ci+cj+m)＞ai−bi∗(ci+cj+m)+aj−bj∗(ci+m)

化简得：

bj∗ci＜bi∗cj

再移项：

bj÷bi＜cj÷ci

现在我们就得到一个排序的条件。

• 换一个方面想，也很容易理解。

挑战两个人可以获得的经验值就是ai+aj

因为在时刻m

所以都要减去 m∗bi+m∗bj

而剩下的影响就是顺序了，

很显然，就是上面的那道式子。

接下来就很简单了，

只需要做一次01背包就可以了。

code(c++)

#include <cstdio>#include <algorithm>#include <cstring>#include <string.h>#include <cmath>#include <stdlib.h>#include <math.h>#define a(i) g[i].a#define b(i) g[i].b#define c(i) g[i].cusing namespace std;struct note{    int a,b,c;}g[1001];int T,n,t,ans; int f[3003];bool cmp(note x,note y){    return(y.b*x.c<x.b*y.c);}int main(){    scanf("%d",&T);    while(T)    {        T--;        scanf("%d%d",&n,&t);        for(int i=1;i<=n;i++)            scanf("%d%d%d",&a(i),&b(i),&c(i));        sort(g+1,g+1+n,cmp);        memset(f,0,sizeof(f));        for(int i=1;i<=n;i++)            for(int j=t;j>=c(i);j--)                f[j]=max(f[j],f[j-c(i)]+a(i)-b(i)*j);        ans=0;        for(int i=1;i<=t;i++)            ans=max(ans,f[i]);        printf("%d\n",ans);    }}