图结构练习——最小生成树

图结构练习——最小生成树

Time Limit: 1000ms   Memory limit: 65536K  

题目描述

 有n个城市，其中有些城市之间可以修建公路，修建不同的公路费用是不同的。现在我们想知道，最少花多少钱修公路可以将所有的城市连在一起，使在任意一城市出发，可以到达其他任意的城市。

 

输入

 输入包含多组数据，格式如下。

第一行包括两个整数n m，代表城市个数和可以修建的公路个数。(n <= 100， m <=10000)

剩下m行每行3个正整数a b c，代表城市a 和城市b之间可以修建一条公路，代价为c。

 

输出

 每组输出占一行，仅输出最小花费。

示例输入

3 21 2 11 3 11 0

示例输出

20

提示

这里要用到最小生成树的知识点 :  一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。 最小生成树可以用kruskal（克鲁斯卡尔）算法或prim（普里姆）算法求出。

Prim算法：（普里姆算法是以某顶点为起点，逐步找各顶点上最小权值的边来构建最小生成树。）

图的存贮结构采用邻接矩阵.此方法是按各个顶点连通的步骤进行,需要用一个顶点集合,开始为空集,以后将以连通的顶点陆续加入到集合中,全部顶点加入集合后就得到所需的最小生成树 .

思路：设图G顶点集合为U，首先任意选择图G中的一点作为起始点a，将该点加入集合V，再从集合U-V中找到另一点b使得点b到V中任意一点的权值最小，此时将b点也加入集合V；以此类推，现在的集合V={a，b}，再从集合U-V中找到另一点c使得点c到V中任意一点的权值最小，此时将c点加入集合V，直至所有顶点全部被加入V，此时就构建出了一颗MST。因为有N个顶点，所以该MST就有N-1条边，每一次向集合V中加入一个点，就意味着找到一条MST的边。

#include<iostream>#include<limits.h>#define Max INT_MAXusing namespace std;int gp[110][110];int  Prim(int n){    int lowcost[110];          //表示终点的边的最小权值    int adjvex[110];             //标记数组，判断节点是否遍历    int sum=0;              //统计总路线    int i,j,k,min,minid;    for( i=1; i<=n; i++)        //从节点1开始    {        lowcost[i]=gp[1][i];        adjvex[i]=0;    }    adjvex[1]=1;    for(i=1; i<n; i++)    {        min=Max;        minid=0;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(!adjvex[j]&&lowcost[j]<min)            {                min=lowcost[j];                minid=j;                //存储当前最小值的下标            }        }        sum+=min;        adjvex[minid]=1;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(!adjvex[j]&&gp[minid][j]<lowcost[j])            {                lowcost[j]=gp[minid][j];    //更新lowcost数组            }        }    }    for(int i=1; i<=n; i++)     //判断是否连通    {        if(!adjvex[i])        {            sum=-1;            break;        }    }    return sum;}int main(){    int n,m;    while(cin>>n>>m)    {        for(int i=1; i<=n; i++)         // 赋初值            for(int j=1; j<=n; j++)                if(i==j)                    gp[i][j]=0;                else                    gp[i][j]=Max;        for(int i=0; i<m; i++)        {            int a,b,d;            cin>>a>>b>>d;            if(d<gp[a][b])          //若路径相同，取最小值            {                gp[a][b]=d;                gp[b][a]=d;            }        }        int s=Prim(n);        cout<<s<<endl;    }    return 0;}

这里不加标记数组也可以：

#include<iostream>#include<limits.h>#define Max INT_MAXusing namespace std;int gp[110][110];int  Prim(int n){    int lowcost[110];          //表示终点的边的最小权值    int sum=0;              //统计总路线    int i,j,k,min,minid;    for( i=2; i<=n; i++)        //从节点1开始    {        lowcost[i]=gp[1][i];    }    lowcost[1]=-1;    for(i=1; i<n; i++)    {        min=Max;        minid=-1;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(lowcost[j]!=-1&&lowcost[j]<min)            {                min=lowcost[j];                minid=j;                //存储当前最小值的下标            }        }        sum+=min;        lowcost[minid]=-1;        for(j=2; j<=n; j++)        {            if(lowcost[j]!=-1&&gp[minid][j]<lowcost[j])            {                lowcost[j]=gp[minid][j];    //更新lowcost数组            }        }    }    for(int i=1; i<=n; i++)     //判断是否连通    {        if(!lowcost[i])        {            sum=-1;            break;        }    }    return sum;}int main(){    int n,m;    while(cin>>n>>m)    {        for(int i=1; i<=n; i++)         // 赋初值            for(int j=1; j<=n; j++)                if(i==j)                    gp[i][j]=0;                else                    gp[i][j]=Max;        for(int i=0; i<m; i++)        {            int a,b,d;            cin>>a>>b>>d;            if(d<gp[a][b])          //若路径相同，取最小值            {                gp[a][b]=d;                gp[b][a]=d;            }        }        int s=Prim(n);        cout<<s<<endl;    }    return 0;} 

Krusal算法：（克鲁斯卡尔算法是直接以边为目标去构建。）

图的存贮结构采用边集数组,且权值相等的边在数组中排列次序可以是任意的.该方法对于边相对比较多的不是很实用,浪费时间.

思路：设无向连通网为G＝(V, E)，令G的最小生成树为T＝(U, TE)，其初态为U＝V，TE＝{ }，然后，按照边的权值由小到大的顺序，考察G的边集E中的各条边。若被考察的边的两个顶点属于T的两个不同的连通分量（并查集），则将此边作为最小生成树的边加入到T中，同时把两个连通分量连接为一个连通分量；若被考察边的两个顶点属于同一个连通分量，则舍去此边，以免造成回路，如此下去，当T中的连通分量个数为1时，此连通分量便为G的一棵最小生成树。 

#include<iostream>#include<queue>#include<algorithm>using namespace std;struct node{    int b,e,w;};bool cmp(node x,node y)         //比较函数，按权值升序排列{    return x.w<y.w;}int Find(int pre[],int k)       //查找函数：查找连通分量顶点{    while(k!=pre[k])        k=pre[k];    return k;}void Kruskal(node g[],int m,int n){    int i,sum=0,cnt=0;    int pre[100];    for( i=1; i<=n; i++)        pre[i]=i;    for( i=0; i<m; i++)    {        int x=Find(pre,g[i].b);        int y=Find(pre,g[i].e);        if(x!=y)            //不相等，说明不在一个连通分量        {            pre[x]=y;       //将y加入x的连通分量            sum+=g[i].w;       //计算路径           // cout<<g[i].b<<" "<<g[i].e<<" "<<g[i].w<<endl;        }    }    cout <<sum<<endl;}int main(){    int n,m;    node g[10000];    while(cin>>n>>m)    {        for(int i=0; i<m; i++)  //建立边集数组        {            int a,b,d;            cin>>a>>b>>d;            g[i].b=a;            g[i].e=b;            g[i].w=d;        }        sort(g,g+m,cmp);        Kruskal(g,m,n);    }    return 0;}