BZOJ 2144 跳跳棋

跳跳棋

原题网址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2144

题目描述

跳跳棋是在一条数轴上进行的。棋子只能摆在整点上。每个点不能摆超过一个棋子。我们用跳跳棋来做一个简单的游戏：棋盘上有3颗棋子，分别在a，b，c这三个位置。我们要通过最少的跳动把他们的位置移动成x，y，z。（棋子是没有区别的）跳动的规则很简单，任意选一颗棋子，对一颗中轴棋子跳动。跳动后两颗棋子距离不变。一次只允许跳过1颗棋子。 写一个程序，首先判断是否可以完成任务。如果可以，输出最少需要的跳动次数。

数据范围

100% 绝对值不超过109。

题解

首先说明一下，本人不太聪明，是一名蒟蒻，方法可能比较笨。

我们考虑一个有序状态 S(x,y,z)，x<=y<=z。观察他的转移方案：
设l=y-x,r=z-y。
<1>中间向两边跳，(x,y,z)–>(x-l,y-l,z)或(x,y,z) –> (x,y+r,z+r)
<2>中间向两边跳，l < r，(x,y,z) –> (x+l,y+l,z) 或 l > r ，(x,y,z) –> (x,y-r,z-r)。

首先，有一个很显然 的性质，转移可逆。
我们将一个状态 两边向中间转移后 的状态设为这个状态的父亲，我们会惊奇的发现，这刚好构成了一棵树！！！
然后问题就变成了询问两点间的距离。

有了上述结论，就简单多了。
首先，我们先让起始位置和目标位置跳到根上，但是如果一个一个的跳，很明显会超时。
其实我们发现，操作都是连续着跳（连续的一段跳动都是同一个方向的），例如说，l < r，我让它一次性跳完⌊rl⌋就好了，就跟更相减损术一样。终结条件是l=r。时间复杂度是log级别。

判断起始位置的根是否和目标位置的根相同，如果是，则说明他们有交集，他们在同一棵树上，否则，则说明他们分别在两棵根不同的树上，无解。

在求根的时候顺便求出起始位置和初始位置的深度。
用上面log级别的跳动方法将两个点调节到深度一样的位置。
然后再用二分或倍增套用log级别跳法求出两个点的lca(最近公共祖先)，那我们就可以知道答案了。

Code(Pascal)

//本人比较蠢，打的代码很长，毕竟是蒟蒻嘛（仅供参考）label 123,999;var    a,b,c,d,e,f:array[0..3] of longint;    bo:boolean;    n,m,j,k,l,i,o,p,ANS,p1,p2,pa,pb,tpa,tpb,dis,kkkk:longint;function js(a,b:longint):longint;    begin        if a>b then        begin            js:=a div b;            if a mod b=0 then dec(js);        end;        if a<b then        begin            js:=b div a;            if b mod a=0 then dec(js);        end;    end;PROCedure tiaoa(kkk:longint);begin    if kkk=0 then exit;    while pa>kkk do    begin        p1:=a[2]-a[1];        p2:=a[3]-a[2];        o:=js(p1,p2);        if p1<p2 then        begin            if pa-o<=kkk then            begin                a[1]:=a[1]+(pa-kkk)*p1;                a[2]:=a[2]+(pa-kkk)*p1;                pa:=kkk;                break;            end;            pa:=pa-o;            a[1]:=a[1]+o*p1;            a[2]:=a[2]+o*p1;        end        else        if p2<p1 then        begin            if pa-o<=kkk then            begin                a[2]:=a[2]-(pa-kkk)*p2;                a[3]:=a[3]-(pa-kkk)*p2;                pa:=kkk;                break;            end;            pa:=pa-o;            a[2]:=a[2]-o*p2;            a[3]:=a[3]-o*p2;        end;    end;end;PROCedure tiaob(kkk:longint);begin    if kkk=0 then exit;    while pb>kkk do    begin        p1:=b[2]-b[1];        p2:=b[3]-b[2];        o:=js(p1,p2);        if p1<p2 then        begin            if pb-o<=kkk then            begin                b[1]:=b[1]+(pb-kkk)*p1;                b[2]:=b[2]+(pb-kkk)*p1;                pb:=kkk;                break;            end;            pb:=pb-o;            b[1]:=b[1]+o*p1;            b[2]:=b[2]+o*p1;        end        else        if p2<p1 then        begin            if pb-o<=pa then            begin                b[2]:=b[2]-(pb-kkk)*p2;                b[3]:=b[3]-(pb-kkk)*p2;                pb:=kkk;                break;            end;            pb:=pb-o;            b[2]:=b[2]-o*p2;            b[3]:=b[3]-o*p2;        end;    end;end;begin    readln(a[1],a[2],a[3]);    readln(b[1],b[2],b[3]);    for i:=1 to 2 do    for l:=i+1 to 3 do    if a[i]>a[l] then    begin        a[0]:=a[i];        a[i]:=a[l];        a[l]:=a[0];    end;    for i:=1 to 2 do    for l:=i+1 to 3 do    if b[i]>b[l] then    begin        b[0]:=b[i];        b[i]:=b[l];        b[l]:=b[0];    end;    c:=a;    d:=b;    pa:=0;    while (c[1]+1<c[2]) or (c[2]+1<c[3]) do    begin        p1:=c[2]-c[1];        p2:=c[3]-c[2];        o:=js(p1,p2);        if p1<p2 then        begin            pa:=pa+o;            c[2]:=c[2]+p1*o;            c[1]:=c[1]+p1*o;        end        else if p1>p2 then        begin            pa:=pa+o;            c[3]:=c[3]-p2*o;            c[2]:=c[2]-p2*o;        end        else break;    end;    e:=c;    pb:=0;    while (d[1]+1<d[2]) or (d[2]+1<d[3]) do    begin        p1:=d[2]-d[1];        p2:=d[3]-d[2];        o:=js(p1,p2);        if p1<p2 then        begin            pb:=pb+o;            d[2]:=d[2]+p1*o;            d[1]:=d[1]+p1*o;        end        else if p1>p2 then        begin            pb:=pb+o;            d[3]:=d[3]-p2*o;            d[2]:=d[2]-p2*o;        end        else break;    end;    f:=d;    if not((e[1]=f[1]) and (e[2]=f[2]) and (e[3]=f[3])) then    begin        123:        writeln('NO');        exit;    end;    if (pa=0) or (pb=0) then    begin        inc(pa);        inc(pb);    end;    inc(pa);    inc(pb);    ans:=abs(pa-pb);    TIAOA(pb);    tiaob(pa);    k:=trunc(ln(pa)/ln(2));    kkkk:=pa;    while k>=0 do    begin        C:=A;        D:=B;        TPA:=pa;        tpb:=pb;        dis:=1 shl k;        if tpa-dis<=1 then goto 999;        tiaoa(tpa-dis);        tiaob(tpb-dis);        if (a[1]=b[1]) and (a[2]=b[2]) and (a[3]=b[3]) then        begin            pa:=tpa;            pb:=tpb;            a:=c;            b:=d;        end;        999:dec(k);    end;    if (not((a[1]=b[1]) and (a[2]=b[2]) and (a[3]=b[3]))) and (pa>=1) then dec(pa);    ans:=ans+2*(kkkk-pa);    writeln('YES');    writeln(ans);end.