BZOJ 3170 [Tjoi 2013]松鼠聚会

排序+前缀和+切比雪夫转曼哈顿

如果本题给出的是曼哈顿距离，那么我们就可以按X和Y分别排序，求出前缀和，对于每个点O(1)判断找最佳答案。可是切比雪夫距离呢？也可以转化成曼哈顿距离！

先引入一个恒等式：
max(|a|,|b|)=|a+b2|+|a−b2|
可对a,b的正负性分类讨论进行证明

切比雪夫距离公式
d=max(|x1−x2|,|y1−y2|)

由上面恒等式变换可得
d=|(x1+y1)−(x2+y2)2|+|(x1−y1)−(x2−y2)2|

令x′=x+y2,y′=x−y2

得
d=|(x′1)−(x′2)|+|(y′1)−(y′2)|

这是一个标准的曼哈顿距离公式，转换完毕。

即切比雪夫转曼哈顿(x,y)->((x+y)/2,(x-y)/2)
同理可证曼哈顿转切比雪夫(x,y)->(x+y,x-y)

#include<cstdio>#include<algorithm>#define N 100005#define ll long longusing namespace std;struct Point{ll x, y;}p[N];ll sx[N], sy[N], x[N], y[N];int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    for(int i = 1, xx, yy; i <= n; i++)    {        scanf("%d%d",&xx,&yy);        p[i].x=x[i]=xx+yy;        p[i].y=y[i]=xx-yy;    }    sort(x+1,x+1+n);    sort(y+1,y+1+n);    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        sx[i]=sx[i-1]+x[i];        sy[i]=sy[i-1]+y[i];    }    ll ans=1ll<<62;    for(int i = 1; i <= n; i++)    {        ll temp=0;        int pos;        pos=lower_bound(x+1,x+1+n,p[i].x)-x;        temp+=p[i].x*pos-sx[pos]+sx[n]-sx[pos]-(n-pos)*p[i].x;        pos=lower_bound(y+1,y+1+n,p[i].y)-y;        temp+=p[i].y*pos-sy[pos]+sy[n]-sy[pos]-(n-pos)*p[i].y;        ans=min(ans,temp);    }    printf("%lld\n",ans>>1);}