总结一道概率放缩题

总结一道概率放缩题

@(概率论)

有时候给定的是一个与常用的概率表达形式不同的不等式需要你判定，这个时候，创造性的使用放缩将是很好的方法。但是，如何让两个看似无关的表达式有联系，除了特别难的需要拍脑袋外，大部分都是有迹可循，且是被暗示的。

比如：设X是连续型变量，方差存在，则对任意的常数C和ϵ>0,必有

P(|X−C|≥ϵ)≤E|X−C|ϵ

分析：初看这种形式，心里一定很莫名其妙，这两个有什么关系？如果对期望的定义有很深刻的认识，EX=∫+∞−∞xf(x)dx,对于

E(g(x))=∫+∞−∞g(x)f(x)dx

所以，E|X−C|=∫+∞−∞|X−C|f(x)dx$

我们就有了尝试的方向。左半部的P(|X−C|≥ϵ)天然的和积分有关系，因此我们可以将其表达为：

P(|X−C|≥ϵ)=∫|X−C|≥ϵf(x)dx

所以，比较的中转站是在积分这里。也即，放缩也在这个地方进行。

两个地方不一样，积分上下限与被积函数的一小部分。这就是我们考虑放缩的地方。

这里的提示很明确，就是|X−C|≥ϵ
这个表示的范围是有限范围，一定不大于

(−∞,+∞),且|X−C|ϵ≥1

明确这两点，

P(|X−C|≥ϵ)=∫|X−C|≥ϵf(x)dx≤∫+∞−∞f(x)dx≤∫+∞−∞|X−C|ϵf(x)dx≤E|X−C|ϵ

这便是此类题目的解法，需要从细节入手，找到可以比较的相同形式，放缩可解。

比如这样一道变题：

设X是随机变量，E|X|r(r>0)存在，试证明，对任意的ϵ>0有：P(|X|≥ϵ)≤E|X|rϵr

分析：证明过程一模一样。关注点都是两个方面：|X|ϵ≥1→|X|rϵr≥1
|X|≥ϵ确认的范围小于(−∞,+∞)
所以可以直接放缩：

P(|X|≥ϵ)=∫|X|≥ϵf(x)dx≤∫+∞−∞f(x)dx≤∫+∞−∞|X|rϵrf(x)dx=1ϵr∫+∞−∞|X|rf(x)dx=E|X|rϵr

于是问题得证。

有一个小点，假设r=0.00000000000001,1.00001r>1.