NOIP2016提高组 第二天第三题 愤怒的小鸟angrybirds 题解

题目描述

Kiana最近沉迷于一款神奇的游戏无法自拔。

简单来说，这款游戏是在一个平面上进行的。

有一架弹弓位于（0,0)处，每次Kiana可以用它向第一象限发射一只红色的小鸟，小鸟们的飞行轨迹均为形如y=ax^2+bx的曲线，其中a,b是Kiana指定的参数，且必须满足a<0。

当小鸟落回地面（即x轴）时，它就会瞬间消失。

在游戏的某个关卡里，平面的第一象限中有n只绿色的小猪，其中第i只小猪所在的坐标为(xi,yi)。

如果某只小鸟的飞行轨迹经过了(xi,yi),那么第i只小猪就会被消灭掉，同时小鸟将会沿着原先的轨迹继续飞行；

如果一只小鸟的飞行轨迹没有经过(xi,yi)，那么这只小鸟飞行的全过程就不会对第i只小猪产生任何影响。

例如，若两只小猪分别位于（1,3)和（3,3)，Kiana可以选择发射一只飞行轨迹为y=-x^2+4x的小鸟，这样两只小猪就会被这只小鸟一起消灭。

而这个游戏的目的，就是通过发射小鸟消灭所有的小猪。

这款神奇游戏的每个关卡对Kiana来说都很难，所以Kiana还输入了一些神秘的指令，使得自己能更轻松地完成这个游戏。这些指令将在【输入格式】中详述。

假设这款游戏一共有T个关卡，现在Kiana想知道，对于每一个关卡，至少需要发射多少只小鸟才能消灭所有的小猪。由于她不会算，所以希望由你告诉她。

n<=18

输入输出格式

输入格式：
第一行包含一个正整数T，表示游戏的关卡总数。

下面依次输入这T个关卡的信息。每个关卡第一行包含两个非负整数n,m，分别表示该关卡中的小猪数量和Kiana输入的神秘指令类型。接下来的n行中，第i行包含两个正实数(xi,yi)，表示第i只小猪坐标为(xi,yi)。数据保证同一个关卡中不存在两只坐标完全相同的小猪。

如果m=0，表示Kiana输入了一个没有任何作用的指令。

如果m=1，则这个关卡将会满足：至多用只小鸟即可消灭所有小猪。

如果m=2,则这个关卡将会满足：一定存在一种最优解，其中有一只小鸟消灭了至少只小猪。

保证1<=n<=18，0<=m<=2，0

输入输出样例

输入样例#1：
2
2 0
1.00 3.00
3.00 3.00
5 2
1.00 5.00
2.00 8.00
3.00 9.00
4.00 8.00
5.00 5.00
输出样例#1：
1
1
输入样例#2：
3
2 0
1.41 2.00
1.73 3.00
3 0
1.11 1.41
2.34 1.79
2.98 1.49
5 0
2.72 2.72
2.72 3.14
3.14 2.72
3.14 3.14
5.00 5.00
输出样例#2：
2
2
3
输入样例#3：
1
10 0
7.16 6.28
2.02 0.38
8.33 7.78
7.68 2.09
7.46 7.86
5.77 7.44
8.24 6.72
4.42 5.11
5.42 7.79
8.15 4.99
输出样例#3：
6

题解

注意到数据范围：N<=18
有什么算法？
暴力？状压！
状压DP，对于每只猪1和0表示是否被打掉了
设f[s]为当前状态的最小步数
我们知道，三个点可以确定一个抛物线
已知一个点是原点，那么再来两个点就可以确定一个抛物线，设点i和点j确定的抛物线表示为(i,j)
每次枚举一个状态s，再枚举两只猪i,j，当然i,j不在s里面
那么设所有经过(i,j)这条抛物线的点的集合为s’
那么f[s⋁s′]=f[s]+1,f[0]=1
那么现在还需要预处理的就是每个集合s’
用a[i,j]存放抛物线(i,j)所经过的点的集合
那么转移方程变成了

f[s⋁a[i,j](i,j不∈s)]=min(f[s]+1),f[0]=1

时间复杂度O(2n+n2)

代码

#include<cstdio>#include<algorithm>#include<cstring>#include<cmath>#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)#define db double#define N 30#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))using namespace std;struct node{    db x,y;};node a[N];int bz[N],c[N][N],fg[20],f[1<<19];db get(int i,int j){    db x1=a[i].x,y1=a[i].y,x2=a[j].x,y2=a[j].y;    if(x2*x2*x1-x1*x1*x2==0) return 0;    return (y2*x1-y1*x2)/(x2*x2*x1-x1*x1*x2);}db gt(int i,db ac){    db x=a[i].x,y=a[i].y;    return (y-ac*x*x)/(x);}int main(){    freopen("angrybirds.in","r",stdin);    freopen("angrybirds.out","w",stdout);    fg[0]=1;fo(i,1,18) fg[i]=fg[i-1]*2;    int ak;    for(scanf("%d",&ak);ak;ak--)    {        int n,m,nn;scanf("%d%d",&n,&m);nn=n;        fo(i,1,n) scanf("%lf %lf",&a[i].x,&a[i].y),bz[i]=0;        fo(i,1,n)            fo(j,1,n)            if(i!=j)            {                db ac=get(i,j);int l=0;                if(ac<0)                {                    db b=gt(i,ac);                    fo(k,1,n)                    {                        if(abs(ac*a[k].x*a[k].x+b*a[k].x-a[k].y)<0.00001) l+=fg[k-1];                    }                }                c[i][j]=l;              }            else            {                c[i][j]=fg[j-1];            }        memset(f,63,sizeof(f));f[0]=0;        fo(s,0,fg[n]-1)        if(f[s]!=1061109567)        {            fo(i,1,n)            if((s&fg[i-1])==0)            {                fo(j,1,n)                if((s&fg[j-1])==0)                {                    f[s|c[i][j]]=min(f[s|c[i][j]],f[s]+1);                 }                 break;            }        }        printf("%d\n",f[fg[n]-1]);    }    fclose(stdin);fclose(stdout);    return 0;}