简简单单应用对极几何

说了简简单单，就直白一点。

1、对极几何

空间坐标系下，两个相机位置已知，一个点位置已知，连接这三个点，得一个平面，叫极平面epiploar plane

空间坐标系下，两个相机参数已知，可以作出两个像平面 image plane

极平面上的点与两个像平面的交线叫极限，epipolar line

view1相机坐标原点在view2像平面上的像，view2相机坐标原点在view1像平面上的像，分别叫做极点epipole，例如图中的el和er

2、对极几何有什么用

正如上面英文所说。

给一个view1下的点p1，如果能求它的epipolar line，就能求它的极平面，就能求它投另一个view2中的投过去的epipolar line，那么p1在view2中成像的对应点一定在它的epipolar line上。

说白了，就是找一个view上的一个点，在另一个view对应的哪条线上。

3、什么是本质矩阵和基本矩阵，怎么求

两个重要矩阵，Essential Matrix(本质矩阵)和Fundamental Matrix(基本矩阵)。这俩矩阵提供一个约束，从而计算epipolar line。

当相机参数已知时，计算步骤如下：

(1)根据两个view对应的相机参数求相机坐标系之间的变换矩阵。

注意变换的源头与目标：我们目前已知view2上的某点，要求它在view1中的epipolar line，那么你要把view2的相机坐标系转到view1中去。

第一个view1相机参数为R1 T1

第二个view2相机参数为R2 T2

要把这两个变换合并成4x4齐次变换矩阵。

M1=[R1,T1]     M2=[R2,T2]

       [0,    1]            [0,    1]

求得变换矩阵为：M=M1*inv(M2)     解释：把view2的坐标系中的点，乘以M2的逆，变回原来位置，然后再乘以M1变到view1坐标系

(2)求计算本质矩阵的关键矩阵R和S

取 R= M的左上3*3  ，T=M的最右边一列的前三行，根据下面的形式，求得矩阵S

S=,可以看到S只与T有关

(3)  本质矩计算方法： E=R*S       

      基本矩阵计算方法： F=inv(K1)' *E* inv(K2)     

      inv(K1)是view1的相机内参矩阵的逆的转置，inv(K2)是view2的相机内参矩阵的逆，注意顺序，变到哪个view，想找哪个view上的对应点，哪个view的K就乘在左边 。 如果两幅图用一个相机拍的，那K1=K2就是了。

     

     这两个矩阵的区别：看你分析的是相机坐标系下的点，还是数字图像的点。E完全没有相机内部参数的参与，所以必须这个点纯粹是相机坐标系下的。如果是数字图像的像素点，就要用矩阵F。

     

4、利用本质矩阵和基本矩阵求epipolar line

一个重要的约束关系

P1代表view1上的点，P2代表view2上的点，假设这两点是在相机坐标系下的，那么利用本质矩阵E有下如下的约束关系（注意以下运算P都是二维齐次坐标哦）：

利用view2上的点Pl求它在view1中对应的epipolar line

 

利用view1中的点Pr求它在view2中对应的epipolar line

 

得到的是L1和L2是三元组，代表直线一般式的Ax+By+C=0

如果P1和P2是在图像下的像素索引，那么把E换成基本矩阵F，一切同理！

matlab应用发现：

lines = epipolarLine(F,points) returns an M-by-3 matrix, lines. 

The matrix represents the computed epipolar lines in the second image corresponding to the points,points, in the first image.

经过我测试，这个函数做的就是把基本矩阵F和points的齐次表达相乘，得到一个三元组的直线表达，从而验证了我的推理。

以上只给了结论合怎样用，没有给出推导过程。推导过程不难，详见下面博客：

[1] http://www.cnblogs.com/gemstone/archive/2011/12/20/2294805.html                给出了本质矩阵的推导

[2] http://www.cnblogs.com/gemstone/articles/2294551.html         给出了为什么这样求极线