51nod 1035 最长的循环节

1035 最长的循环节

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 20 难度：3级算法题

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正整数k的倒数1/k，写为10进制的小数如果为无限循环小数，则存在一个循环节，求<=n的数中，倒数循环节长度最长的那个数，假如存在多个最优的答案，输出所有答案中最大的那个数。

1/6= 0.1(6) 循环节长度为1

1/7= 0.(142857) 循环节长度为6

1/9= 0.(1)  循环节长度为1

Input

输入n（10 <= n <= 1000)

Output

输出<=n的数中倒数循环节长度最长的那个数

Input示例

10

Output示例

7

题解：循环一遍n，快速的求出每个数的小数循环节长度，记录长度最大的那个数。

先摆定理：

1.如果 1<=b<a, a没有2或5的质因子，并且a与b互质，那么b/a 的循环节位数恰好等于e∈min(10^e≡1(moda)),e是正整数。

2.如果 1<=b<a, a没有2或5的质因子，并且a与b互质，那么b/a 的循环节位数必整除ϕ(a)（a的欧拉函数）。

定理二说明了e是小于a的，那么1/k的循环节长度一定小于k的，那么我们直接枚举出e的值就可以了。复杂度O(n^n)。  相关论文： http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d253/25311.pdf

代码如下：

#include <cstdio>#include <cstring>#include <algorithm>using namespace std;int main(){int n;while(scanf("%d",&n)!=EOF){int ans,Max=-1;for(int i=2;i<=n;++i){int num=i,cnt=0,temp=1;while(num%2==0)num/=2;while(num%5==0)num/=5;if(num==1)//1的时候长度为0 cnt=0;else{do{temp=temp*10%num;cnt++;}while(temp!=1);}if(cnt>Max){Max=cnt;ans=i;}}printf("%d\n",ans);}return 0;}