【DP入门】石子合并（一）

题目来自nyist737题，如下：

描述

有N堆石子排成一排，每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆，每次合并花费的代价为这两堆石子的和，经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。
输入
有多组测试数据，输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n，表示有n堆石子。
接下来的一行有n（0< n <200）个数，分别表示这n堆石子的数目，用空格隔开
输出

输出总代价的最小值，占单独的一行

分析：

很容易想到哈夫曼编码，但是此处要求只能相邻两堆石子合并，所以哈夫曼的贪心策略不方便实施。DP解法：近似穷举，先考虑两两合并，记录最优中间下标k，可以近似想象成加木板，比如1、2合并就是在1-2中加一个木板k=1，这样逐步记录下最优的合并方案。然后三三合并，四四合并，直到最后N堆石子合并，从下到上构建出结果，时间复杂度为O(n³)。

同样思想的是矩阵链乘，也是相邻两两合并，直到剩下一个。

平行四边形优化：对于递推式 dp[i][j] = min (dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+w[i][j]) 其最优的k值一定在  s[i][j-1]至s[i+1][j]中，其中s[i][j]为第i到j这两堆（因为已经逐层合并了 所以是两堆）取最优解时的k值。具体证明详见百度Google。可以优化到O(n²)；

代码如下：

#include <stdio.h>#include <string.h>int stone[205];int s[205][205];int dp[205][205];int sum[205];int main() {int N;int i,j,len,k,temp;while(scanf("%d",&N) != EOF){for(i = 0;i < N;i++){scanf("%d",&(stone[i]));s[i][i] = i;dp[i][i] = 0;}sum[0] = stone[0];for(i = 1;i < N;i++)sum[i] = sum[i-1] + stone[i];for(len = 2;len <= N;len++){for(i = 0;i < N-len+1;i++){j = len+i-1;int t_k ;temp = 100000;//INF即可for(t_k = s[i][j-1];t_k <=s[i+1][j] ;t_k++){if(temp > dp[i][t_k] + dp[t_k+1][j]+sum[j]-sum[i]+stone[i]){temp = dp[i][t_k] +dp[t_k+1][j] + sum[j] - sum[i]+stone[i];k = t_k; }s[i][j] = k;dp[i][j] = temp;}}}printf("%d\n",dp[0][N-1]);}return 0;}

DP的很多题目都有相似之处，要先把经典题目刷完，然后在此之上扩展，锻炼DP思想，才能合理利用。