动态规划-最长上升子序列



一、什么是最长上升

           一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

    你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度

二、最长上升子序列的最优子结构

          我们首先来建立一下递推关系:

   定义dp[i]:=以ai为末尾的最长上升子序列的长度

           以ai为末尾的最长上升子序列是：

                    a.只包含ai的子序列;

                    b.在满足j<i并且aj<ai的以aj为结尾的上升子序列末尾，追加上ai后得到的子序列;

           这样就能得到下面的递推关系式:

                    LIS[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., t - 1, 且A[j] < A[t])

三、暴力实现

static int robot(int idx, vector<int>& nums){if (idx < 0){return 0;}int ans = 0;for (int i = 0; i < idx; i++){if (nums[i] < nums[idx]){ans = max(ans, robot(i- 1, nums));}}return ans  + 1;}

四、算法实现

int lis_len(int* arr, int n){int i, j, res = 0;int dp[MAX_N];for (i = 0; i < n; i++){dp[i] = 1;for (j = 0; j < i; j++){if (arr[j] < arr[i]){dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1);}}res = max(res, dp[i]);}return res;}

五、算法改进

class Solution {public:static int robot(vector<int>& nums){for (int i = 0; i < 10000; i++){mi[i] = 1000000;}int path = 0;for (int idx = 0; idx < nums.size(); idx++){int ans = 0;for (int i = 0; i <= path;i++){if (nums[idx] > mi[i]){ans = max(ans, i);}}f[idx] = ans + 1;mi[f[idx]] = min(mi[f[idx]], nums[idx]);path = max(path, f[idx]);}return f[nums.size()-1];}    static int lengthOfLIS(vector<int>& nums) {return robot(nums);    }};