DP经典应用（二）最长递增子序列问题

最长递增子序列问题

问题描述：有一个数组长为n，请求出这个序列中最长的递增子序列的长度。（ 递增子序列：对于任意的i < j 都满足ai < aj的子序列 ）

样例输入：
5
4 2 3 1 5

样例输出：
3

分析：

按照解决动态规划的前3个步骤我们进行分析：

• 1.刻画一个最优解的结构特征：
  定义dp[i]为以ai为末尾元素的最长递增子序列的长度。
  比如根据样例输入，dp[0]=1。

• 2.递归地定义最优解的值：
  以ai为末尾元素的子序列是：
  1.只包含ai的子序列
  2.如果满足j < i 并且 aj < ai这个条件的以aj为末尾的子序列末尾再加上ai后得到的新子序列。这两者之一。
  所以得到此递推式：
  dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1) (j < i 且 aj < ai)

• 3.计算最优解的值，采用自底向上的递推法。
  则代码如下：

#include<cstdio>#include<cstring> #include<algorithm>using namespace std;const int maxn = 10000+10; int dp[maxn];int main(){    int n;    scanf("%d",&n);    while(n--)    {        char a[maxn];        scanf("%s",a);        for(int i=0;i<strlen(a);i++)        {            dp[i] = 1;            for(int j=0;j<=i;j++)            {                if(a[j]<a[i])                {                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1);                }            }        }        int max=0;        for(int i=0;i<strlen(a);i++)        {            if(max<dp[i])            max = dp[i];        }        printf("%d\n",max);    }    return 0;}

注：这个经典问题经常被设计改编成其他题目，比如导弹发射高度问题，它是求最最长递减子序列问题，并没有什么区别，只是判断条件换了一下而已。
所以掌握此问题是非常重要的。