动态规划:最长上升子序列

描述

一个数的序列b_i，当b₁ < b₂ < ... < b_S的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a₁, a₂, ..., a_N)，我们可以得到一些上升的子序列(a_i1, a_i2, ..., a_iK)，这里1 <= i₁ < i₂ < ... < i_K <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出

最长上升子序列的长度。

样例输入

71 7 3 5 9 4 8

样例输出

4

思路如下：

1.建立数组存储状态，maxn[i]存储前i个数中以第i个数为结尾的最长上升子序列的长度；

2.得到状态转移方程:如果a[i]>a[j]，那么maxn[i]=maxn[j]+1(j从1循环到i-1)；

3.利用二重循环实现，最后检索数组找到最大值；

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>using namespace std;int main(){        int i,j,n,max,a[1005],maxn[1005];        cin>>n;        for(i=0;i<n;i++)                cin>>a[i];        maxn[0]=1;        for(i=1;i<n;i++)        {                max=0;                for(j=0;j<i;j++)                {                        if(a[i]>a[j])               //求以a[i]为结尾的最长上升子序列，只保存最大值                                if(max<maxn[j])                                        max=maxn[j];                }                maxn[i]=max+1;        }        max=0;        for(i=0;i<n;i++)                 //检索最大值                if(max<maxn[i])                        max=maxn[i];        cout<<max<<endl;}